Carácter de la representación inducida: fórmula explícita

Question

Estoy tratando de trabajar a través del Ejercicio 7.1 en "Linear Representations of Finite Groups" de Serre pero tengo problemas para terminar mi demostración. El problema se reduce a lo siguiente.

Sea $N\subset H$ un subgrupo normal de un grupo finito $H$, y $V$ un módulo $\mathbb{C}[H]$ tal que ningún vector distinto de cero es fijo por todo $N$. Sea $\chi$ el carácter correspondiente y $\pi: H\twoheadrightarrow H/N$ la proyección. Probar que para cualquier $t\in H/N$,

$$ \sum_{\pi(s)=t} \chi(s) = 0. $$

Cuando $t=1$ puedo demostrar esto, ya que podemos descomponer $V$ en representaciones irreducibles de $N$ y ninguna de estas puede ser la trivial; así que podemos usar la ortogonalidad de los caracteres para terminar, al multiplicar internamente $\chi$ con el carácter trivial. Sin embargo, si $t\neq 1$ no veo cómo terminar. Intentaría multiplicar internamente $\chi$ con la función $f:H\to \mathbb{C}$ que envíe $\{s \mid \pi(s)=t\}$ a 1 y el resto a 0, ¡pero esta función no es (necesariamente) una función de clase!

EDITAR: Debo aclarar que el título se refiere a usar $\pi: H\twoheadrightarrow (H/N)=: G$ para inducir una $G$-representación $Ind_H^G(V)$. (No necesitamos asumir que ningún vector distinto de cero de $V$ es fijo por todo $N$). Luego Serre pide probar que su carácter debe ser, para $t\in G$,

$$ t \mapsto \frac{1}{|N|}\sum_{\pi(s)=t} \chi(s). $$

Answer 1

Deje

$$\rho: H \rightarrow \mathrm{GL}(V)$$

denotar la representación correspondiente. Deje

$$e_N:= \frac{1}{|N|} \sum_{n \in N} \rho(n) \in \mathrm{End}(V)$$

El endomorfismo $e_N$ es simplemente la proyección de $V$ en el subespacio invariante por $N$, entonces, por suposición, $e_N = 0$ ya que $V^N = 0$.

Tenemos $\chi(s) := \mathrm{Tr}(\rho(s))$. Los elementos de $H$ tales que $\pi(s) = t$ son solo los cosets (izquierdos o derechos ya que $N$ es normal) de algún elemento en $H$, que por abuso de notación también podemos llamar $t$. Por lo tanto

$$\begin{aligned} \sum_{\pi(s) = t} \chi(s) = & \ \sum_{n \in N} \chi(tn) \\ = & \ \sum_{n \in N} \mathrm{Tr}(\rho(t) \rho(n)) \\ = & \ \mathrm{Tr} \left( \rho(t) \sum_{n \in N} \rho(n) \right) \\ = & \ \mathrm{Tr} \left( \rho(t) |N| e_N \right)= \mathrm{Tr}(0) = 0. \end{aligned}$$

pd. Por lo general, se reserva la notación $\mathrm{Ind}^{G}_{H}(V)$ para ser la inducción de una representación $V$ desde un subgrupo $H$ a $G$. ¿Serre realmente usa esa notación? (Busca copia pirata de Serre - no lo hace.) Probablemente debas evitarlo ya que causará confusión. El carácter que aparece aquí es el carácter de $H/N$ actuando en $V^N$. Eso también es bastante fácil de ver desde el mismo cálculo anterior, ya que en general obtenemos

$$\frac{1}{|N|} \sum_{\pi(s) = t} = \mathrm{Tr} \left( \rho(t) e_N \right)$$

que es simplemente la traza de $t \in G/H$ actuando en $V^N$.