Dado $S\unlhd\unlhd G$ (subnormal), donde $S\unlhd H\leq G$. ¿Cómo puedo construir una serie subnormal de $S$ a $G$ que sea $H$-invariante (es decir, todos los elementos de la serie son normalizados por $H$)? En un libro afirman que puedo hacer esto tomando cerraduras normales (yendo a la serie subnormal distinguida). Pero no veo cómo. Observación: Todos los grupos considerados son finitos.
Respuesta
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Sea $G_0 = G$, y si $G_i$ está definido, definimos $G_{i+1}$ como el cierre normal de $G_i$ con respecto a $S$. Dado que $S$ es subnormal, existe algún $n$ tal que $G_n=S$ [sea $S_n = S$ y $S_{i+1} \unlhd S_i$ y $S_0 = G$. Supongamos para la inducción que $G_i \leq S_i$. Entonces $S_{i+1}$ es normalizado por $G_i$ y contiene a $S$, por lo que $G_{i+1} \leq S_{i+1}$. Por lo tanto, $G_i$ es la serie subnormal descendente más rápida desde $G$ hasta $S$. En particular, $S \leq G_n \leq S_n = S. ]
$H$ normaliza $G_0$ por la suposición $H \leq G$ (lo cual es demasiado fuerte). Supongamos que $H$ normaliza $G_i$. Entonces $H$ normaliza tanto a $S$ como a $G_i$, por lo que normaliza $G_{i+1}=\langle s^g : s \in S, g \in G_i \rangle$. Por lo tanto, $H$ normaliza $G_i$ para todo $i$.
[ Los subgrupos subnormales en grupos infinitos son mucho más complicados, pero para este resultado, no importa si el grupo es finito. Además, creo que no necesariamente tiene que haber una serie subnormal ascendente más rápida única, y sé que los normalizadores iterados no siempre forman una serie subnormal. ]
