Cadena de Markov combinada de N cadenas de Markov idénticas

Question

Tengo una cadena de Markov de https://ieeexplore.ieee.org/document/9766097 de la siguiente manera

La matriz de transición de estados es la siguiente

El análisis se refiere a la tasa de pérdida de paquetes para UN dispositivo con cierta llegada ($\lambda$) y probabilidad de éxito de transmisión ($\mu_1$) donde $\bar\lambda$ representa ninguna llegada ($1-\lambda$) y $\bar\mu_1$ se refiere a la probabilidad de falla de transmisión ($1-\mu_1$).

La tasa de pérdida para UN dispositivo es dada por $\pi_d\bar\mu_1$ donde $\pi_d$ es la probabilidad en estado estable para la cadena de Markov con límite de retraso $d$ (después de lo cual un paquete será eliminado) en estado $d$

Necesito calcular la tasa de pérdida combinada para N dispositivos que son idénticos y simétricos (es decir, tienen la misma probabilidad de transmisión exitosa). ¿Cuál es el enfoque correcto para extender este análisis para N dispositivos? Puede que sea trivial, pero estoy perdiendo el punto.

Answer 1

Creo que te refieres a la tasa de caída esperada (ya que la tasa de caída real es estocástica).

Sea $D_i$ la tasa de caída del dispositivo $i$. Estás preguntando sobre la siguiente cantidad:

$$E\left[ \sum_{i=1}^N D_i \right]$$

Donde estamos asumiendo que los $D_i$ son iid.

Señalaste que $E[D_i] = \pi_d\bar \mu_1$ por lo tanto, por la linealidad de la expectativa, deberíamos esperar una tasa de caída combinada de $N\pi_d\bar \mu_1$.

La distribución en estado estacionario de la tasa de caída combinada sería la convolución discreta de $N$ copias de $\pi_d$