Componentes independientes en un 4-vector que representa campos sin masa

Question

En la página 141 de Ryder, está escrito "el campo electromagnético, al igual que cualquier campo sin masa, posee solo dos componentes independientes, pero es descrito covariantemente por un 4-vector $A_{\mu}$".

¿Por qué hay solo dos componentes independientes? ¿No deberían ser independientes entre sí las cuatro componentes?

Answer 1

Al principio, puedes empezar con cuatro funciones de componente $A_{\mu}(x,y,z,t)$ con $\mu=0,1,2,3$.

Pero luego puedes elegir una función $\lambda(x,y,z,t)$ (pronunciada "lambda") y transformar el calibre $A_\mu$ a $$ A'_\mu (x,y,z,t) = A_\mu (x,y,z,t) +\frac{\partial}{\partial x^\mu} \lambda $$ lo cual produce una nueva configuración $A'_\mu$ que debemos considerar físicamente idéntica. Asi que tenemos 4 números por punto hasta 1 número que no importa, quedándonos con tres.

Sin embargo, hay una reducción más debido a que una de las ecuaciones de Maxwell, la ley de Gauss $$ {\rm div}(\vec D) = \rho $$ realmente no contiene derivadas temporales, por lo que restringe los estados iniciales. De manera equivalente, la derivada temporal de la ley de Gauss puede derivarse de las otras ecuaciones de Maxwell, asi que hay otro número en cada punto que es "redundante". Esto nos deja con dos campos físicos fuera de la red por punto.

Quizás sea más claro contar los grados de libertad "en la red", el número de ondas reales y sus polarizaciones.

Considerando ondas moviéndose en el vacío con vector de onda $\vec k$ y frecuencia $\omega$. Son proporcionales a $$ \exp(i\vec k \cdot \vec x - i\omega t) $$ donde $\omega=c |\vec k|$. El $A_\mu$ completo es $$ A_\mu = \epsilon_\mu \exp(i\vec k \cdot \vec x - i\omega t) $$ y hay a priori cuatro soluciones independientes. Sin embargo, debido a la simetría de calibre relacionada con $\lambda$, si cambias $\epsilon^\mu$ por un múltiplo de $k^\mu$, obtienes una onda electromagnética físicamente idéntica. Estas ondas $\epsilon\sim k^\mu$ son "pura calibre".

El otro grado de libertad se pierde porque podemos imponer la condición $$ \epsilon_\mu k^\mu = 0$$ el calibre de Lorentz, sin pérdida de generalidad. Esto reduce "otro" grado de libertad no transversal porque los vectores nulos $\epsilon^\mu$ que son ortogonales al nulo $k^\mu$ (y por lo tanto permitidos) son proporcionales a este, mientras que estos valores de $\epsilon^\mu$ proporcionales a $k^\mu$ son exactamente los que son no físicos debido a la simetría de calibre.

Para resumir, solo las dos polarizaciones transversales son físicas. Por ejemplo, si la onda se está moviendo en la dirección $z$, solo las ondas polarizadas linealmente en $x$ e $y$ (o las dos polarizaciones circulares que son sus combinaciones) son físicas. Tanto la onda longitudinal como la temporal son no físicas debido a las "dos aplicaciones" de la simetría de calibre mencionada anteriormente.

Answer 2

QFT se basa fuertemente en representaciones irreducibles del grupo de Poincare: teniendo masa $m$ y espín (helicidad) $s$ podemos construir el campo y las ecuaciones correspondientes para él. Se puede demostrar que las representaciones sin masa del grupo de Poincare que no son invariantes bajo la inversión espacial están caracterizadas solo por un valor: la helicidad $\lambda$, por lo que solo hay un componente independiente para el campo correspondiente. Si deseas construir una teoría del campo con helicidad $\lambda$ ($( \lambda , 0)$ para helicidad $\lambda$, $(0, \lambda)$ para helicidad $-\lambda$) que sea invariante bajo la inversión espacial, entonces debes tomar la suma directa $\left(\lambda, 0\right) \oplus \left(0, \lambda\right)$ de las representaciones. Así que en conclusión tendrás dos componentes independientes y, por lo tanto, dos valores de helicidad $\lambda, -\lambda$. No es difícil obtener ecuaciones para el campo correspondiente.

El campo covariante de Poincare "verdaderamente" sin masa para la helicidad 1 (invariante bajo la inversión espacial) es $F_{\mu \nu}$, para la helicidad 2 es $C_{\mu \nu \alpha \beta}$ (tensor de Weyl linealizado), etc. Pero si luego introducimos $A_{\mu}, g_{\mu \nu}$ (respectivamente) para estas teorías, obtendremos campos que tienen más componentes independientes de las que deberían tener. Sin embargo, la invariancia de gauge que aparece en estas teorías después de "reemplazar" $C_{\mu \nu \alpha \beta} \to g_{\mu \nu}, F_{\mu \nu} \to A_{\mu}$ $$ A_{\mu} \to A_{\mu}^{\omega} = A_{\mu} + \partial_{\mu}\omega, \quad g_{\mu \nu} \to g_{\mu \nu}^{\omega} = g_{\mu \nu} + \partial_{\mu}c_{\nu} + \partial_{\nu}d_{\mu} : L(\varphi ) \to L(\varphi^{\omega}) = L (\varphi ) $$ nos ayudará a reducir el número de componentes a 2.

Desafortunadamente, los campos $A_{\mu}, g_{\mu \nu}$ no pueden representar partículas sin masa y ser simultáneamente covariantes bajo Poincare. El requisito de que representen partículas sin masa (me refiero a la representación de las transformaciones de Poincare en términos del pequeño grupo) lleva al hecho de que se transforman incorrectamente bajo las transformaciones del grupo de Lorentz. Pero debemos introducir estos campos porque proporcionan la interacción ley $\frac{1}{r^{2}}$.

Afortunadamente se puede mostrar que para teorías realistas de interacción la matriz S es invariante bajo algunas transformaciones de los vectores (tensores) de polarización de estos campos sin masa, por lo que la parte no covariante bajo Poincare de las transformaciones de campos no contribuye a los procesos físicos.