Encuentra el valor de $ [1/ 3] + [2/ 3] + [4/3] + [8/3] +\cdots+ [2^{100} / 3]$

Question

Asumir que [x] es la función del piso. No soy capaz de encontrar cualquier patrón en los números obtenidos. ¿Alguna sugerencia?

$$[1/ 3] + [2/ 3] + [4/3] + [8/3] +\cdots+ [2^{100} / 3]$$

Answer 1

Creo que tengo una respuesta. Ver el $\frac{1}{3}$ en formato binario y te darás cuenta de que es $0.\overline{01}$.
Esto nos dice algo, es decir que el $[2^{2i}/3]+[2^{2i+1}/3] = 4^i-1$. Esto inmediatamente me dice que su suma se reduce a: $$\sum \limits_{i=0}^{50} [2^{2i}/3]+\sum \limits_{i=0}^{49} [2^{2i+1}/3]=\sum \limits_{i=0}^{49} [2^{2i}/3]+\sum \limits_{i=0}^{49} [2^{2i+1}/3]+[2^{100}/3]$$ $$\sum \limits_{i=0}^{49} [2^{2i}/3]+\sum \limits_{i=0}^{49} [2^{2i+1}/3]+[2^{100}/3]=\sum(4^i-1)+[2^{100}/3]=\frac{4^{50}-151}{3}+[2^{100}/3]$$

Edit 1: se ha Añadido después de que yo sabía lo que tenía que disparar para:
Supongo que podemos simplificar esto al señalar que $4 \bmod 3 = 1$$[2^{2i}/3] = \frac{2^{2i}-1}{3}$. Esto nos daría:
$$\frac{4^{50}-151}{3}+2^{100}/3 - 1/3 = \frac{2^{101}-152}{3}$$

Edit 2: Ir por una solución más general (aburrido, pero útiles, supongo)
Considere la posibilidad de $m=2n+1$ extraño: $$\sum \limits_{i=0} ^{2n+1} \lfloor\frac{2^i}{3}\rfloor = \sum \limits_{i=0} ^n (4^i-1) = \frac{4^{n+1}-3n-4}{3}=\frac{2^{m+1}-3\frac{m-1}{2}-4}{3} =\frac{2^{m+2}-3 m-5}{6} $$ Para $m=2n$ incluso: $$\sum \limits_{i=0} ^{2n} \lfloor\frac{2^i}{3}\rfloor = \sum \limits_{i=0} ^{n-1} (4^i-1) + \lfloor \frac{4^n}{3} \rfloor = \frac{2^{2n+1}-3n-2}{3}=\frac{2^{m+1}-\frac{3m}{2}-2}{3}=\frac{2^{m+2}-3m-4}{6} $$

Entonces podemos reescribir esto como:

$$\frac{2^{m+3}-6m-9+(-1)^{m}}{12}$$

Answer 2

La secuencia de $[2^n/3]$ $n\in \mathbb{N}$ $n\geq 2$ sería como este:

$$1,\ 2,\ 5,\ 10,\ 21,\ 42,\ 85,\ \cdots $$

Así, la comparación de los números en la secuencia sucesivamente, puede adivinar que se trata de una secuencia recursiva como

$a_1=1$, y para$n>1$, $a_n=\begin{cases} 2a_{n-1} & \text{if } n\ \text{ is even, }\\ 2a_{n-1}+1 & \text{if } n\ \text{ is odd. } \end{casos}$

El uso de la recursividad, usted puede encontrar la secuencia de la siguiente manera: $$a_n=\frac16\left(2^{n+2}-3-(-1)^n\right)$$

Ahora, usted sólo tiene que calcular

$$\sum_{n=1}^{100}a_n$$

PS: Para mostrar por qué la recursividad de las obras de la secuencia, en primer lugar tenga en cuenta que $a_n=[2^{n+1}/ 3]$. Entonces, usando el binario de la exposición, hemos

$$\begin{align*} a_1&=1\\ a_2&=10\\ a_3&=101\\ a_4&=1010\\ a_5&=10101\;, \end{align*}$$

y, a continuación, considerando $\frac23=0.\overline{10}_{\text{two}}$, $$\begin{align*} 2\cdot\frac23&=1.\overline{01}_{\text{two}}\\ 2^2\cdot\frac23&=10.\overline{10}_{\text{two}}\\ 2^3\cdot\frac23&=101.\overline{01}_{\text{two}}\\ 2^4\cdot\frac23&=1010.\overline{10}_{\text{two}}\\ 2^5\cdot\frac23&=10101.\overline{01}_{\text{two}}\;, \end {align*}$$

y así se llegó a la conclusión de que

$$a_n=\left\lfloor 2^n\cdot\frac23\right\rfloor=\left\lfloor\frac{2^{n+1}}3\right\rfloor\;.$$

Debo decir que tengo esta prueba a partir de una parte de una solución a otro problema aquí, dado por Brian M. Scott.

Answer 3

A partir de $n=0$, #% % incluso #% términos son $n =2k$ y son de los términos posteriores impar-$(4^k - 1)/3$ $n = 2k+1$. Lo general:\begin{align} \sum_{k=0}^{49}\left[(1+2)\frac{4^{k} - 1}{3}\right] + \frac{4^{50}-1}{3} &= \sum_{k=0}^{49}(4^{k} - 1) + \frac{4^{50}-1}{3} \\ & = \sum_{k=0}^{49}(4^{k}) + \frac{4^{50}-1}{3}-50 \\ &= \frac{4^{50}-1}{3}+ \frac{4^{50}-1}{3}-50 \\ &= \frac{2}{3}(4^{50}-1)-50 \\ &=845100400152152934331135470200 \tag{W|A} \end {Alinee el}

Answer 4

Sólo para mejor evaluar la solución dada por Kitter Catter, premisa que el $$ \eqalign{ & x = \left\lfloor x \right\rfloor + \left\{ x \right\} \cr & \left\lfloor { - x} \right\rfloor = - \left\lceil x \right\rceil \cr & \left\lceil x \right\rceil = \left\lfloor x \right\rfloor + \left\lceil {\left\{ x \right\}} \right\rceil \cr} $$ con $\left\lfloor x \right\rfloor $ siendo el piso, $\left\lceil x \right\rceil $ el ceil, y $\left\{ x \right\}$ el resto de fracciones de
entonces: $$ \eqalign{ & \left\lfloor {{{2^{\,n + 1} } \over 3}} \right\rfloor \quad \left| {\;0 \le n} \right.\quad = \left\lfloor {2{{2^{\n} } \over 3}} \right\rfloor = \left\lfloor {2^{\n} - {1 \over 3}2^{\n} } \right\rfloor = \cr Y = 2^{\n} + \left\lfloor { - {{2^{\n} } \over 3}} \right\rfloor = 2^{\n} - \left\lceil {{{2^{\n} } \over 3}} \right\rceil = 2^{\n} - \left\lfloor {{{2^{\n} } \over 3}} \right\rfloor - \left\lceil {\left\{ {{{2^{\,n} } \over 3}} \right\}} \right\rceil = \cr Y = 2^{\n} - \left\lfloor {{{2^{\n} } \over 3}} \right\rfloor - 1 \cr} $$