Demostrar que $e^{\pi}-{\pi}^e\lt 1$ sin usar una calculadora.
Yo lo hice de la siguiente manera. Hay otras maneras?
Prueba : Supongamos que $f(x)=e\pi\frac{\ln x}{x}$. A continuación, $$e^{\pi}-{\pi}^e=e^{f(e)}-{e}^{f(\pi}\tag1$$ Ahora, $$f'(x)=\frac{e\pi(1-\ln x)}{x^2},\quad f"(x)=\frac{e\pi (2\ln x-3)}{x^3},\quad f"'(x)=\frac{e\pi (11-6\ln x)}{x^4}.$$ Dado que $f'(x)\lt 0$ $e\lt x\lt\pi$, uno tiene $f(e)\gt f(\pi$. Por Taylor teorema, existe un punto $c$ en $(e,\pi)$ tal que $$\begin{align}f(\pi) y=f(e)+(\pi-e), f'(e)+\frac{(\pi-e)^2}{2}f"(c)\\&\gt f(e)+(\pi-e)\cdot 0+\frac{(\pi-e)^2}{2}\cdot \frac{e\pi(2\ln e-3)}{e^3}\\&=f(e)-\frac{\pi(\pi-e)^2}{2e^2}\tag2\end{align}$$ debido a que $f"'(x)\gt 0\ (e\lt x\lt \pi)$ implica $f"(c)\gt f"(e)$.
Por el valor medio teorema y $(2)$, $$e^{f(e)}-e^{f(\pi}\lt (f(e)-f(\pi))e^{f(e)}\lt \frac{\pi (\pi-e)^2}{2e^2}\cdot e^{\pi}=\frac{e\pi(\pi-e)^2}{2}\cdot e^{\pi-3}\tag3$$
Desde $e^x\lt \frac{1}{1-x}\ (0\lt x\lt 1)$ y $0\lt \pi-3\lt 1$, $$e^{\pi-3}\lt\frac{1}{4-\pi}\tag4$$
De $(1)(3)(4)$, $$e^{\pi}-{\pi}^e\lt \frac{e\pi(\pi-e)^2}{2}\cdot\frac{1}{4-\pi}\lt\frac{3\times\frac{22}{7}\left(\frac{22}{7}-2.718\right)^2}{2}\cdot\frac{1}{4-\frac{22}{7}}\lt 0.993\lt 1$$
Respuestas
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Deje que $x>0$. Considerar $e^{e+x}-(e+x)^e=e^e(e^x-(1+\frac xe)^e)=e^e(a-B)$. Ahora $z\ge \log(1+z)\ge z-\frac{z^2}2$, por lo que $0\le a-B=a(1-\frac BA)\le\log(a/B)\le\frac{x^2}{2}$. Por lo tanto, para $x=\pi-e$, obtenemos $$ 0\le e^{\pi}-\pi^e\le e^{\pi-1}(\pi-e)^2/2\,. $$ Ahora vamos a utilizar el trivial de la desigualdad $e\ge 2+\frac 12+\frac 16+\frac 1{24}=2+\frac{17}{24}>2.7$ ($170>168$ si desea comprobar mentalmente) y mucho menos trivial de la desigualdad de $\pi<3.15$, por que yo no tengo ningún papel libre de la prueba, para obtener $(\pi-e)^2\le 0.45^2=0.2025<\frac 29$ (los números de dos dígitos acabado en $5$ puede ser cuadrado sin papel). Así, todos necesitamos a mostrar ahora es que $\log 9=2\log 3\ge 2.15$ o $-\log \frac 13>1.075$. Sin embargo, la escritura de los 6 primeros términos de la serie de Taylor, podemos ver que este logaritmo es al menos $$ \frac 23+\frac 29+\frac 8{81}+\frac 4{81}+\frac{32}{5\cdot 3\cdot 81} +\frac{64}{6\cdot 9\cdot 81} \ge 1+\frac 3{81}+\frac 2{81}+\frac{2}{15\cdot 81}+\frac 1{81} \\ >1+\frac 6{81}+\frac 1{8\cdot 81}>1+\frac 6{81}+\frac 6{80\cdot 81}=1+\frac 6{80}=1.075 $$ Así que, si queremos definir $\pi$ a ser un número entre $e$ y $3.15$, el cálculo completo (suponiendo digno de memoria) no requiere papel y lápiz, por no hablar de las calculadoras. Sin embargo, $\pi$ no está definido de esa manera, por lo que la desigualdad de $\pi<3.15$ es un enorme error en este argumento :-(.
Considere la posibilidad de $f(x,y) = x^y - y^x$ donde $x, y \aprox 3$. El aumento de $x$ debe $f$ abajo y el aumento de $y$ se $f$. En general, sin ningún conocimiento real de $f$:
$$ 1 > f(x+ \epsilon_1, y + \epsilon_2) \aprox f(x, y ) + \epsilon_1 \frac{\partial f}{\partial x} + \epsilon_2 \frac{\partial f}{\partial y} $$
donde la primera desigualdad es algo que estamos tratando de demostrar por $x = e \aprox 2.718$ y $y = \pi \aprox 3.141$.
Vamos a tratar $x = \frac{11}{4}$ y $y = \frac{13}{4}$. A continuación, hemos tomado demasiado de holgura:
$$ \left( \frac{11}{4} \right)^{\frac{13}{4}} - \left( \frac{13}{4} \right)^{\frac{11}{4}} \approx 1.214$$
El uso de las fracciones continuas de $e$ y $\pi $ da menos de uno y comprobar con una calculadora:
$$ \left( \frac{8}{3} \right)^{\frac{22}{7}} - \left( \frac{22}{7} \right)^{\frac{8}{3}} \approx 0.621$$
Incluso su prueba requiere una calculadora en el último paso... pero no usamos los valores exactos de $\pi, e$.
¿Qué tan buena es esta aproximación? De alguna manera debemos calcular rápidamente cómo es que $f$ cambios $x$ y $y$:
$$ \frac{\partial f}{\partial x} = y \, x^{y-1} - (\ln y ) y^x \aprox 3 \times 3^{3-1} - (\ln 3) 3^3 \aprox -27(\ln \frac{e}{3}) \aprox -2.7 $$
El $y$ derivada parcial es similar, excepto que es positivo en lugar de negativo.
Puede ser probada, la continuación de la fracción de error de $e$ y $\pi$ son inversamente proporcionales a los denominadores:
$$ \left| e - \frac{8}{3} \right| < \frac{1}{3^2} \text{ y } \left| \pi \frac{22}{7} \right| < \frac{1}{7^2}$$
Estas serían nuestras estimaciones de $\epsilon_1$ y $\epsilon_2$. A continuación, utilizando un poco de cálculo multivariable:
$$ \epsilon_1 \frac{\partial f}{\partial x} + \epsilon_2 \frac{\partial f}{\partial y} \approx \frac{1}{3^2} \times 2.7 + \frac{1}{7^2} \times (-2.7) < 0.355 $$
Esto debería ser suficiente para establecer $|f(\pi,e)| < 1$.
Este utiliza una calculadora en muchos lugares, pero no el valor exacto de las constantes de $\pi$ e $e$.
