Intercambiar la derivada y la suma de funciones absolutamente continuas

Question

Sea $g_k$ una secuencia de funciones absolutamente continuas en $[a,b]$. Supongamos que $\sum_{k=1}^\infty g_k(x)$ es convergente para todo $x \in [a,b]$ y definimos $f(x) = \sum_{k=1}^\infty g_k(x)$. También supongamos que $\sum_{k=1}^\infty \int_a^b |g_k'(x)|dx < \infty$. A partir de estas hipótesis, he demostrado que $f$ es absolutamente continua en $[a,b]$. Ahora estoy tratando de demostrar que $f'(x) = \sum_{k=1}^\infty g_k'(x)$ para casi todo $x \in [a,b]$, pero no estoy seguro de cómo proceder.

Intenté aplicar este teorema ya que cada función absolutamente continua es una diferencia de funciones crecientes: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Fubini_sobre_la_diferenciación. Pero no estoy seguro acerca de la convergencia de las funciones crecientes, así que no creo que funcione. ¡Agradecería cualquier ayuda con este problema!

Answer 1

Recuerda que las funciones AC son integrales indefinidas de sus derivadas. Se muestra en RCA de Rudin (Teorema 7.19) que cualquier función AC continua en $[a,b]$ es la diferencia de dos funciones AC crecientes. Por lo tanto, la prueba se reduce al caso en el que las funciones son todas crecientes. En este caso, $\int_c^{d} \sum g_k'(t)dt= \sum\int_c^{d} g_k'(t)dt$ por el Teorema de Tonelli. Esto da $\int_c^{d} f'(t)dt=\int_c^{d} \sum g_k'(t) dt$ siempre que $a\leq c . Esto implica que $f'(t)= \sum g_k'(t)$ casi en todas partes.