Serie de Taylor / Maclaurin origen de la expansión.

Question

Por lo tanto, todos conocemos la fórmula de expansión de la serie de Taylor para la expansión alrededor del punto de expansión $A(a, f(a))$:

$$f(x) \approx \underbrace{f(a)}_{1er~término} + \underbrace{\frac{f'(a)\, (x-a)}{1!}}_{2do~término}+ \underbrace{\frac{f''(a)\, (x-a)^2}{2!}}_{3er~término}+\underbrace{\frac{f'''(a)\, (x-a)^3}{3!}}_{4to~término}+...$$

Lo hemos utilizado todos, pero pocas personas saben de dónde viene. ¡Esto es tan raro que ni siquiera lo he encontrado en la web! Decidí que quiero saber:

• cómo construyó Brook Taylor esta fórmula,
• cómo Brook obtuvo el 1er, 2do, 3er y 4to término. ¿Fue algo así como en esta página web?

• En este video, el autor comienza explicando la "expansión de la serie de Taylor" con la "expansión de la serie de potencias" que va así: $$f(x) \approx \underbrace{c_0}_{1er~término} + \underbrace{c_1(x-a)}_{2do~término} + \underbrace{c_2(x-a)^2}_{3er~término} + \underbrace{c_3(x-a)^3}_{4to~término}+...$$ Si absolutamente necesitas usar esta "expansión de la serie de potencias" para explicar la "expansión de la serie de Taylor", por favor concéntrate más en explicar la "expansión de la serie de potencias" ya que nunca entendí completamente esto. Por favor, enfócate en explicar:

  • cómo construimos esta fórmula,
  • cómo sabemos que el 1er, 2do, 3er y 4to término son como son,
  • qué nos da el derecho de aproximar la función $f(x)$ con la serie de potencias $c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2+...$. En otras palabras, ¿cómo sabemos que podemos hacer esto? Creo que necesitaré una explicación geométrica mínima aquí.

Answer 1

Para $n$ puntos dados en el plano (con diferentes coordenadas $x$) existe un polinomio de grado $n-1$ que conecta los puntos. Si $n\to\infty$, se podría suponer que todas las funciones interesantes pueden ser escritas en una forma polinómica (posiblemente infinita).

Asumiendo que una función tiene una serie de potencias, entonces $$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots$$ para algunos números $a_n$, al sustituir $x=0$ obtenemos $f(0)=a_0$. Calculando $f'$, $$f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\dots$$ Así que $f'(0)=a_1$. Y así sucesivamente. Los factoriales provienen de la diferenciación de los términos decrecientes $x^n$.

Por ejemplo, la función que es su propia derivada, $f:x\mapsto e^x$ satisface $$a_0=a_1,\ a_1=2a_2,\ a_2=3a_3,\ \dots$$ Y, si ya sabemos que $e^0=1$, entonces obtenemos $a_0=1$ y todos los coeficientes estarán determinados (produciendo $e^x=1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\dots$)