Este problema de combinatoria surgió a partir de una pregunta en física: ¿cuántas formas hay de regresar del nivel de energía 1 al nivel de energía n, permitiendo cualquier combinación de saltos hacia abajo?
Después de la enumeración, parecía que debería ser la suma de la fila $(n-1)$ de la triangulación de Pascal (es decir, $\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}$).
¿Cómo puedo demostrar esto y qué está mal con la siguiente prueba intentada?:
Representa los espacios entre los niveles de energía por ($n-1$) puntos, y el nivel de energía en el que descansa el electrón por un |. El número de estos niveles de energía = k.
Así que para n=4 las posibilidades son (k=0) ... , (k=1) .|.. , ..|. y (k=2) .|.|.
Nota que $k \le n-2 $.
Entonces para $k=k$ hay $\large \frac{((n-1)+k)!}{(n-1)!k!}=\binom{n-1+k}{k}$
Así que $ Posibilidades = \sum_{k=0}^{n-2} \frac{((n-1)+k)!}{(n-1)!k!} =\sum_{k=0}^{n-2} \binom{n-1+k}{k}$. Lo cual es irritantemente similar a la fórmula anterior, pero evidentemente algo ha salido mal en la prueba.
