¿Por qué es la serie de Fourier de período infinito la transformada de Fourier?

Question

Podemos encontrar la transformada de Fourier como el límite para un período infinito de una serie de Fourier como se explica en https://class.ece.uw.edu/235dl/EE235/Project/lesson15old/lesson15.html

Hago la derivación que ellos hacen:

$f_p$ es una función periódica $L$. Defino $$k_n = \frac{2 \pi n}{L}\qquad \text{y}\qquad c_n = \frac{1}{L} \int_{-L/2}^{L/2} f_p(x) e^{-i k_n x}~ dx$$

$$f_p(x)=\sum_{n=-\infty}^{+ \infty} c_n e^{i k_n x}$$

Ahora, tomamos el período y lo llevamos al infinito y definimos $$f(x)=\lim_{L \to + \infty} f_p(x)$$

$$\implies f(x)=\lim_{L \to + \infty} \sum_{n=-\infty}^{+ \infty} (k_{n+1}-k_n) \left( \frac{1}{2 \pi} \int_{-L/2}^{L/2}dx f_p(x) e^{-i k_n x} \right) e^{i k_n x}$$

Hasta este punto estoy totalmente de acuerdo y veo que $k_{n+1}-k_n=\delta k$ jugará el papel del $dk$ en la integración. Pero esto es más un "sentimiento" que una demostración. Porque dicen que en este punto reconocemos una suma de Riemann y así reconocemos la transformada de Fourier:

$$f(x)=\int_{-\infty}^{+ \infty} dk \left( \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}dx f(x) e^{-i k x} \right) e^{i k x}$$

Esto es lo que no entiendo.

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De lo que entendí de los comentarios en esta publicación, no es cierto "en general" sino solo para algunas funciones "buenas". De hecho, por ejemplo, la definición de la integral a través de la suma de Riemann es la siguiente:

$$ \int_a^b f(x) dx = \lim_{N \to +\infty} \sum_{n=0}^N \frac{(b-a)}{N} f(a + (b-a)\frac{n}{N})$$

Pero al llevar tanto $a$ como $b$ a $+ \infty$ y $- \infty$ respectivamente, no encuentro una expresión análoga a la serie de Fourier de período infinito.

Mi pregunta:

Me gustaría una prueba basada en las sumas de Riemann en la que para un conjunto de funciones "buenas" la igualdad esté demostrada rigurosamente.

Intenté demostrarlo para funciones de soporte compacto pero me falta algo en mi demostración como puedes ver en mi último párrafo.

Answer 1

Gracias a la orientación de @mathworker21, logré demostrarlo para cierta clase de funciones.

Supongo que trabajo en un conjunto $\widetilde{\mathcal{D}}(\mathbb{R})$. En este conjunto las funciones admiten transformada de Fourier.

Definiciones

Llamo $f$ a una función en $\widetilde{\mathcal{D}}(\mathbb{R})$.

Tengo:

$$f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(k) e^{ikx}dk$$ $$\widehat{f}(k)=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-ikx}dx$$

Defino $f_L$, la función que se construye a partir de $f$ periodizada en $[-L/2,+L/2]$. Así que puedo escribir su serie de Fourier:

$$f_L(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{L} c_{L}(k_n) e^{i k_n x} \text{ con } k_n=\frac{2 \pi n}{L} \text{ y } c_{L}(k_n) \equiv \int_{-L/2}^{+L/2} f(t)e^{-ik_n t}dt$$

Defino una función $\widetilde{f}_L$:

$$\widetilde{f}_L=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{L} c_{\infty}(k_n) e^{i k_n x}$$

Derivación

Ahora, quiero demostrar que la serie de Fourier de periodo infinito coincide con la transformada de Fourier, es decir: $\lim_{L \rightarrow + \infty} f_L(x) = f(x)$. Es equivalente a demostrar que $|f_L(x)-f(x)|$ tiende a $0$ para $L$ infinito.

Para demostrarlo, hago:

$$|f_L(x)-f(x)|=|\left(f_L(x)-\widetilde{f}_L\right) + \left(\widetilde{f}_L-f(x)\right)| \leq |f_L(x)-\widetilde{f}_L|+|\widetilde{f}_L-f(x)|$$

Voy a demostrar que para "buenas" funciones $f$, el lado derecho converge a $0$ lo que demostrará mi afirmación. Empiezo a tratar con el segundo término:

$$\widetilde{f}_L(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{L} c_{\infty}(k_n) e^{i k_n x}=\frac{1}{L} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} g_x(\frac{n}{L})$$

Donde:

$$g_x(\frac{n}{L})=c_{\infty}(2 \pi \frac{n}{L}) e^{i 2 \pi \frac{n}{L} x}$$

Como se explica aquí Suma de Riemann en intervalo infinito, si $u \rightarrow g_x(u)$ es tal que $\int_{-\infty}^{+\infty} g_x'(u)du \leq + \infty$, entonces tengo una suma de Riemann, lo que significa:

$$ \lim_{L \rightarrow +\infty} \frac{1}{L} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} g_x(\frac{n}{L}) = \int_{-\infty}^{+\infty} g_x(u)du$$

Ahora, tengo:

$$\lim_{L \rightarrow +\infty} \widetilde{f}_L(x)=\lim_{L \rightarrow +\infty} \frac{1}{L} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} g_x(\frac{n}{L})=\int_{-\infty}^{+\infty} g_x(u)du\\=\int_{-\infty}^{+\infty} c_{\infty}(2 \pi u) e^{i 2 \pi u x}du=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{+\infty} c_{\infty}(k) e^{i k x}dk=f(x)$$

Así, el segundo término en la desigualdad triangular se anula.

Queda por demostrar que el primer término se anula.

Tenemos:

$$|f_L(x)-\widetilde{f}_L|\leq \frac{1}{L} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_L(k_n)-c_{\infty}(k_n)|$$

Necesitamos tomar funciones "buenas" que permitan que este término se anule cuando $L$ tiende a infinito. Un ejemplo simple es tomar funciones definidas en un compacto. Para $L$ suficientemente grande, tenemos:

$$c_{L}(k_n)=\int_{-L/2}^{+L/2} f(t)e^{-ik_n t}dt=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-ik_n t}dt=c_{\infty}(k_n)$$

Por lo tanto, para $L$ suficientemente grande: $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_L(k_n)-c_{\infty}(k_n)|=0$.

Y habríamos demostrado que para $L$ tendiendo a infinito: $$f_L(x) \rightarrow f(x)$$

En resumen, condición suficiente que necesitamos

Necesitamos dos cosas diferentes para llegar al resultado usando este método:

Primer requisito: $\lim_{L \rightarrow +\infty} \frac{1}{L} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} g_x(\frac{n}{L})=\int_{-\infty}^{+\infty} g_x(u)du$, lo cual puede ser cierto si la derivada de $g_x$ es integrable.

Segundo requisito: $|f_L(x)-\widetilde{f}_L|$ , o más restrictivamente: $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_L(k_n)-c_{\infty}(k_n)|$ tiende a $0$ para $L$ infinito. Se puede lograr para $f$ teniendo un soporte compacto.

Sin embargo, no estoy seguro de que el primer requisito sea verdad si $f$ tiene soporte compacto ?

Answer 2

Sea $f_p$ una función periódica de $L_0$ y \begin{cases} k_n = \dfrac{2 \pi n}{L_0}\\[4pt] c_n = \dfrac{1}{L_0} \int\limits_{-\,^{L_0}/_2}^{^{L_0}/_2} \mathrm dx f_p(x) e^{-i k_n x}\\[4pt] f_p(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+ \infty} c_n e^{i k_n x}. \end{cases}

Sea el nuevo período de $f_p(x)$ igual a $L=mL_0.$ Entonces \begin{cases} k_n = \dfrac{2 \pi n}{mL_0}\\[4pt] c_n = \dfrac{1}{mL_0} \int\limits_{-\,^{mL_0}/_2}^{^{mL_0}/_2} \mathrm dx f_p(x) e^{-i k_n x}\\[4pt] f_p(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+ \infty} c_n e^{i k_n x}, \end{cases}

$$f_p(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+ \infty} \left(\dfrac{1}{mL_0} \int\limits_{-\,^{mL_0}/_2}^{^{mL_0}/_2} \mathrm dx f_p(x) e^{-i k_n x}\right) e^{i k_n x}$$ $$ = \sum\limits_{n=-\infty}^{+ \infty} \dfrac{2\pi}{mL_0}\left(\dfrac{1}{2\pi} \int\limits_{-\,^{mL_0}/_2}^{^{mL_0}/_2} \mathrm dx f_p(x) e^{-i k_n x}\right) e^{i k_n x}.$$

Supongamos que $$\lim\limits_{m\to\infty}\dfrac{1}{2\pi} \int\limits_{-\,^{mL_0}/_2}^{^{mL_0}/_2} \mathrm dx f_p(x) e^{-i k_n x} = F(k_n),$$

entonces la expresión $$f_p(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+ \infty} F(k_n) e^{i k_n x} \Delta k_n$$

se asemeja a la suma clásica de la integral de Riemann de la integral impropia $$f(x)=\int\limits_{-\infty}^{+ \infty}\mathrm dk F(k) e^{i k x},$$

o $$f(x)=\int\limits_{-\infty}^{+ \infty}\mathrm dk \left( \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}dx f(x) e^{-i k x} \right) e^{i k x}.$$

Si se cumplen todas las condiciones necesarias, entonces la transición límite $m\to\infty$ proporciona la transición límite $L\to \infty.$

Por lo tanto, el enfoque considerado parece correcto.