¿Es el anillo de números enteros p-ádicos de tipo finito sobre el anillo de números enteros?

Question

Indica que el anillo de $\mathbb{Z}_p$ $p$-números enteros adic. ¿Es $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}_p)$ de tipo finito $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$?

Answer 1

No; $\mathbb Z_p$ es incontable, pero cualquier finitamente generados $\mathbb Z$-álgebra contable.

Answer 2

Las respuestas obvias (y moralmente correctas) es de Bruno. Pero, para resultar divertido, pensé que lanzaría en este uno que usa un lenguaje algebro-geométrico nunca, así que un poco más:

Supongamos que $\text{Spec}(\mathbb{Z}_p)\to\text{Spec}(\mathbb{Z})$ es de tipo finito. Entonces, porque ambos $\text{Spec}(\mathbb{Z}_p)$ y $\text{Spec}(\mathbb{Z})$ noetheriano, podemos aplicar el teorema de la Chevalley para decir que la imagen de $\text{Spec}(\mathbb{Z}_p)$ $\text{Spec}(\mathbb{Z})$ es construible. Sin embargo, la imagen es precisamente $\{(0),(p)\}$ que no es edificable. Contradicción.