La forma canónica de Jordan de una matriz de $5\times5$.

Question

Tengo un momento difícil entendiendo cómo encontrar la forma canónica de Jordan de una matriz $5\times5$. Este es un problema de mi libro de álgebra lineal. Cualquier ayuda sería genial o sugerencias sobre cómo empezar.

Sea $A$ una matriz $5\times5$ con entradas complejas tal que $A^{3} =0$. Encuentra todas las posibles formas canónicas de Jordan de $A$.

Answer 1

Aquí hay una breve lista de los hechos que necesitas para resolver esta pregunta:

1. $A^3=0$ si y solo si el cubo de su forma de Jordan es cero.
2. El poder $n^{\rm th}$ de una forma de Jordan es triangular superior y los autovalores en la diagonal son las potencias $n^{\rm th}$ de los autovalores originales.
3. Un poder de una forma de Jordan se calcula tomando ese poder para cada uno de sus bloques de Jordan.
4. Si $J$ es un bloque de Jordan de tamaño $m$ y autovalor cero, entonces $J^n=0$ si y solo si $n\geq m$.

Answer 2

Si $A^3=0$, entonces el polinomio minimal divide a $t^3$, lo que significa que el polinomio característico debe ser $t^5$ (alternativamente, si $\lambda$ es un eigenvalor de $A$, entonces $\lambda^3$ es un eigenvalor de $A^3$, por lo tanto $\lambda^3=0$, por lo tanto $\lambda=0).

Ahora recuerda que el mayor poder de $t-\lambda$ que divide al polinomio minimal te da el tamaño del bloque de Jordan más grande asociado a $\lambda$ en la forma canónica de Jordan. Por ejemplo, si el polinomio minimal fuera $t^4$, eso significa que debe haber al menos un bloque de tamaño $4$, y no bloques de tamaño mayor. Para una matriz de $5\times 5$, eso significaría que la forma de Jordan debe consistir de un único bloque de Jordan de $4\times 4$ asociado a $0$, y un bloque de $1\times 1$ asociado a $0$ (ya que eso es todo lo que queda).

Ahora considera las tres posibilidades para el polinomio minimal y lo que te dice. Enumerar las posibles formas de Jordan a partir de esa información es bastante sencillo.

Como una forma de verificar tu trabajo, debería haber cinco formas canónicas de Jordan posibles.