Demostrando que $(x, y, z) \mapsto (2x + y, 2y − z)$ es lineal

Question

Este es un problema con una solución de muestra que obtuve de la clase de Álgebra Lineal. Las conferencias son como tratar de aprender matemáticas de Wikipedia: solo funciona realmente cuando el oyente/lector ya entiende gran parte del contenido. En mi caso, no lo entiendo.

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La pregunta

Demuestra que el siguiente mapa es una transformación lineal.

$T : \mathbb R^3 \to \mathbb R^2$

$(x, y, z) \mapsto (2x + y, 2y - z)$

La prueba dada

(1)

$T(u + v) = T(x + x', y + y', z + z')$

$= (2(x + x') + (y + y'), 2(y + y') - (z + z'))$

$= (2x + y, 2y - z) + (2x' + y', 2y' - z')$

$= T(u) + T(v)$

(2)

$T(\alpha u) = T(\alpha x, \alpha y, \alpha z)$

$= (2x + y, 2y - z)$

$= (2x + y, 2y - z)$

$= T(u)$

Por la definición de mapa lineal, T es lineal.

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Mi problema

Se siente como si se saltara algunos pasos importantes y no proporciona una explicación real...

Aquí está mi comprensión de la solución dada (después de los # son mis comentarios):

(1)

$T(u + v)$ # (1a)

$= T(x + x', y + y', z + z')$ # (1b) sumar vectores = sumar componentes

$= (2(x + x') + (y + y'), 2(y + y') - (z + z'))$ # (1c) Sustitución de componentes de $u$ y $v$ en la función $T(x)$

$= (2x + y, 2y - z) + (2x' + y', 2y' - z')$ # (1d) ¿cómo???

$= T(u) + T(v)$ # (1e) funciones largas --> forma de $T(x)$

(2)

$T(u)$ (2a)

$= T(x, y, z)$ # (2b)

$= (2x + y, 2y - z)$ # (2c) Sustituyendo componentes (con escalar) de $u$ en la función $T(x)$

$= (2x + y, 2y - z)$ # (2d) simplemente sacar el escalar $$

$= T(u)$ # (2e) función larga --> forma corta de $T(x)$

Por la definición de mapa lineal, $T$ es lineal. # Entiendo esta definición, es "trivial".

Lo que no entiendo del todo:

1. ¿Cómo sucedió (1c) = (1d)? Mirarlos solo me confunde, pero creo que es similar a como funciona $ab + ac = a(b + c)$.

(Después de >30 minutos de reflexión, lo reduje a solo 1)

Me gustaría una explicación sobre "(1c) = (1d)". Parece simple pero también confuso. Si es posible, me gustaría que mi comprensión sea verificada con una explicación rápida.

Answer 1

Tal vez estés siendo demasiado exigente / pedante.

Sabes que para los números reales (de hecho, para cada anillo), $a(b+c) = ab + ac$. Expande todo: se convierte en

$$(2x + 2x^\prime + y + y^\prime, 2y + 2y^\prime - z - z^\prime).$$

Dado que la suma es conmutativa y asociativa, escríbelo como

$$((2x+y) + (2x^\prime + y^\prime), (2y-z) + (2y^\prime - z^\prime)).$$

Llama $2x+y = a, 2y-z = b$ y lo mismo para $a^\prime, b^\prime$. Lo que te queda es $(a+a^\prime, b+b^\prime)$. Pero dado que estás trabajando sobre $\mathbb R^n$ con (presumiblemente) suma por componentes, esto es simplemente $(a,b)+(a^\prime, b^\prime)$. ¿Puedes continuar a partir de aquí?

Además, intenta probar este hecho más general: si $\mathbf{a_1}, \ldots, \mathbf{a_n}$ son vectores, entonces la asignación $\mathbf x \mapsto (\mathbf{a_1\cdot x}, \ldots, \mathbf{a_n\cdot x})$ es lineal. Esto generaliza tu problema con prácticamente el mismo argumento y, conversamente, toda transformación lineal sobre un espacio vectorial de dimensión finita se ve así (dada una base). De hecho, los productos punto son multiplicaciones de filas de la matriz $\begin{bmatrix}\mathbf{a_1}^\mathsf{T} \\ \vdots \\ \mathbf{a_n}^\mathsf{T} \end{bmatrix}$ que representa la transformación lineal en esta base.

Answer 2

Una prueba diferente es que $T$ es equivalente a la multiplicación por la matriz $\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&-1\end{pmatrix}$.