Prueba de inducción de $1 + 6 + 11 +\cdots + (5n-4)=n(5n-3)/2$

Question

Necesito ayuda para comenzar con esta demostración.

Probar usando inducción matemática.

$$1 + 6 + 11 + \cdots + (5n-4)=n(5n-3)/2$$ $$n=1,2,3,...$$

Sé que para mi paso base necesito establecer $n=1$ pero no puedo pasar de eso. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Una prueba sin usar inducción:

$$\begin{align}LHS&=1+6+11+\cdots +(5n-4)\\&=[1+(5\times 1-5)]+[1+(5\times 2-5)]+\cdots +[1+(5\times n-5)]\\&=n+5\cdot\frac{n(n+1)}{2}-5n\\&=n+5\cdot\frac{n(n-1)}{2}\\&=\frac{n}{2}\cdot(2+5n-5)\\&=\frac{n(5n-3)}{2}\\&=RHS\end{align}$$

Answer 2

Haré un esquema de una versión simplificada que está más detallada pero probablemente responde tu pregunta de manera más clara. Tu objetivo es probar que la afirmación $P(n)$, es decir, $$P(n) : 1+6+11+\cdots+(5n-4)=\frac{n(5n-3)}{2}$$ es válida para todo $n\geq 1$.

Paso base: Como mencionaste, verifica el caso $n=1$ para el paso base. Usando $n=1$, tenemos que $$1=\frac{1(5(1)-3)}{2},$$ lo cual es correcto. Por lo tanto, el paso base es correcto.

Paso inductivo: Fija $k\geq 1$ y supón que $$P(k) : 1+6+11+\cdots+(5k-4)=\frac{k(5k-3)}{2}$$ es cierto. Ahora debemos demostrar que $$P(k+1) : 1+6+11+\cdots+(5k-4)+[5(k+1)-4]=\frac{(k+1)[5(k+1)-3]}{2}$$ se sigue. Empezando con el lado izquierdo de $P(k+1)$, \begin{align} 1+\cdots+(5k-4)+[5(k+1)-4] &\leq \frac{k(5k-3)}{2}+[5(k+1)-4]\tag{hip. ind.}\\[1em] &=\frac{k(5k-3)+10(k+1)-8}{2}\tag{com. dom.}\\[1em] &=\frac{5k^2-3k+10k+10-8}{2}\tag{expandir}\\[1em] &=\frac{5k^2+7k+2}{2}\tag{simplificar}\\[1em] &=\frac{(k+1)(5k+2)}{2}\tag{factorizar}\\[1em] &=\frac{(k+1)[5(k+1)-3]}{2}\tag{manipular} \end{align> se llega al lado derecho de $P(k+1)$, completando así el paso inductivo.

Por lo tanto, por inducción matemática, $P(n)$ es verdadero para todo $n\geq 1.