Prueba de inducción de $1 + 6 + 11 +\cdots + (5n-4)=n(5n-3)/2$

Question

Necesito ayuda para comenzar con esta demostración.

Probar usando inducción matemática.

$$ 1 + 6 + 11 + \cdots + (5n-4)=n(5n-3)/2 $$ $$ n=1,2,3,... $$

Sé que para mi paso base necesito establecer $n=1$ pero no puedo pasar de eso. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

$$p(1): 1=\frac{1(5(1)-3)}{2}\\p(k):1+6+11+...+(5n-4)=\frac{n(5n-3)}{2}\\$$ahora trata de probar $$p(k+1):1+6+11+...+(5n-4)+(5(n+1)-4)=\frac{(n+1)(5(n+1)-3)}{2}\\$$

Answer 2

Primero, muestra que esto es cierto para $n=1$:

• $\sum\limits_{i=1}^{1}5i-4=\dfrac{5-3}{2}$

Segundo, supongamos que esto es cierto para $n$:

• $\sum\limits_{i=1}^{n}5i-4=\dfrac{n(5n-3)}{2}$

Tercero, prueba que esto es cierto para $n+1:

• $\sum\limits_{i=1}^{n+1}5i-4=\left(\sum\limits_{i=1}^{n}5i-4\right)+5(n+1)-4$

• $\left(\sum\limits_{i=1}^{n}5i-4\right)+5(n+1)-4=\dfrac{n(5n-3)}{2}+5(n+1)-4$ hipótesis utilizada aquí

• $\dfrac{n(5n-3)}{2}+5(n+1)-4=\dfrac{(n+1)(5n+2)}{2}$

• $\dfrac{(n+1)(5n+2)}{2}=\dfrac{(n+1)(5n+5-3)}{2}$

• $\dfrac{(n+1)(5n+5-3)}{2}=\dfrac{(n+1)(5(n+1)-3)}{2}$

Answer 3

Entonces necesitas demostrar $$ \sum_{k=1}^n (5k-4) = n(5n-3)/2 $$ por inducción.

Comienzas verificando que la fórmula funciona para algunos $n$ ($n=1$ por ejemplo) $$ n=1 \Rightarrow \sum_{k=1}^1 (5k-4) = (5-4) = 1 = (5-3)/2 $$ lo cual es verdadero.

Luego tu objetivo es demostrar que la fórmula que se cumple para $n$ implica que también se cumple para $n+1$. Comienza escribiendo el caso $n+1$ usando el caso $n$ $$ \sum_{k=1}^{n+1} (5k-4) = \sum_{k=1}^{n} (5k-4) + 5(n+1) - 4 $$ y sustituye la fórmula para el caso $n$ (conocida por cumplirse para cierto $n$) $$ \sum_{k=1}^{n+1} (5k-4) = n(5n-3)/2 + 5(n+1) - 4 .$$

La prueba está completa si se puede demostrar que la última forma es igual a $(n+1)(5(n+1)-3)/2$. (Porque has demostrado que se cumple para $n=1$ y que si se cumple para cierto $n$ entonces también se cumple para $n+1$, por lo tanto se cumple para todos los $n \geq 1$.)

Answer 4

Tienes la suposición de inducción $$1+2+\ldots+(5(n-1)-4)=\frac{(n-1)(5(n-1)-3)}{2}$$ Añade $5n-4$ a eso... Y deberías obtener $P(n-1)\Rightarrow P(n)$ y esto completa la inducción

Answer 5

$$1=1(5\times 1-3)/2$$ $$1+6+11+\cdots+(5k-4)=^?k(5k-3)/2$$ $$1+6+11+\cdots+(5k-4)+(5k+1)=^?(k+1)(5k+2)/2$$ $$k(5k-3)/2+(5k+1)=^?(k+1)(5k+2)/2$$ $$k(5k-3)/2+(5k+1)=^?(k+1)(5k+2)/2$$

Después de un poco de álgebra... $$(5k^2+7k+2)/2==(5k^2+7k+2)/2$$ lo cual es verdadero.