Recientemente aprendí el siguiente hecho agradable. (Estaba en la demostración de la Proposición 3.1 de este documento - pero no te preocupes, no hay teoría de modelos en esta pregunta.)
Sea $G$ un grupo, y sean $a, b, c \in G$. Si $aba^{-1} = b^2$, $bcb^{-1} = c^2$, y $cac^{-1} = a^2$, entonces $a = b = c = e$. En otras palabras, el grupo definido por generadores y relaciones $\langle a, b, c \mid aba^{-1} = b^2, bcb^{-1} = c^2, cac^{-1} = a^2 \rangle$ es el grupo trivial.
Se me ocurrió la siguiente demostración elemental, pero fea:
Las relaciones se pueden reescribir como (1) $ab = b^2a$, (2) $bc = c^2b$, (3) $ca = a^2c$.
Usando (1), (2) y (3), podemos reescribir $a^4bc = a^4c^2b = c^2ab = c^2b^2a$.
Pero también podemos reescribir $a^4bc = b^{16}a^4c = b^{16}ca^2 = c^{2^{16}}b^{16}a^2$.
Entonces $c^{2^{16}}b^{16}a^2 = c^2b^2a$. Esto implica que $a = b^{-16}c^{2-2^{16}}b^2$.
Sustituyendo a $a$ en (1) arriba, $b^{-16}c^{2(1-2^{15})}b^3 = b^{-14}c^{2(1-2^{15})}b^2$, y cancelando de ambos lados, $c^{2(1-2^{15})}b = b^{2}c^{2(1-2^{15})}$.
Pero ahora, por (2), tenemos $bc^{1-2^{15}} = b^{2}c^{2(1-2^{15})}$, y $b = c^{2^{15}-1}$. Pero entonces $b$ y $c$ conmutan, entonces $bcb^{-1} = c^2$ implica $c = c^2$, y $c = e$. Luego sigue fácilmente que $a = b = c = e$.
Pregunta: ¿Hay una mejor manera de ver esto? ¿Es decir, una prueba más abstracta, o al menos una que no implique manipular palabras de longitud $2^{16}$?
