¿Cómo encuentro la distancia focal?

Question

Primero pondré la pregunta tal como está en la tarea y luego haré mi pregunta.

Lo siguiente describe ciertas características de un telescopio parabólico de radio que le gustaría construir a un observatorio astronómico. Se presenta en dos posiciones: apuntando hacia arriba y hacia el horizonte. En esta primera posición, el enfoque alcanza una altura de 18,4 m y el borde del reflector está situado a 14,5 m del suelo. En la segunda posición, la parte inferior del reflector está a 2 m del suelo y la parte superior está a 18 m. Debe saber que la eficiencia de un telescopio de radio depende del diámetro de su reflector. Cuanto mayor sea este diámetro, más capaz será el telescopio de radio de capturar ondas procedentes de regiones remotas del espacio. Sin embargo, la calidad de captura también depende de la distancia focal, que es la distancia entre el enfoque y el vértice. Esta distancia no debe ser ni demasiado grande ni demasiado pequeña en relación con el diámetro. De hecho, lo importante es la relación de $\frac{distanciafocal}{diametro}$, que idealmente debería estar cerca de 0,5.

Luego continúan preguntando,

a) Determine el valor de esta relación para el telescopio de radio presentado. b) Para aumentar el valor de la relación sin reducir el diámetro del reflector, ¿qué cambios deberían realizarse en la forma de la parábola? Indique una conjetura justificando su punto de vista, utilizando un ejemplo o razonamiento.

Entonces mi pregunta es:

¿Cómo encuentro la distancia focal de la parábola mencionada? Intenté utilizar las fórmulas del libro pero no pude encontrarla. Solo encontré el diámetro (18 m - 2 m = 16 m).

Tengo la sensación de que la respuesta está frente a mí pero no la veo.

Answer 1

Estás en lo correcto, a partir de la información de la segunda posición, sabemos que el diámetro $d$ es

$ d = 18 - 2 = 16 m $

Ahora, a partir de la primera posición, y utilizando la ecuación estándar de una parábola,

$ y = \dfrac{ x^2 }{4 p } + b $

El foco de esta parábola está en $(0, b + p ) $

Por lo tanto,

$ 18.4 = p + b $

Y a partir de la información del borde,

$ 14.5 = \dfrac{8^2}{4 p } + b $

Restando las dos ecuaciones

$ 18.4 - 14.5 = 3.9 = p - \dfrac{16}{p} $

Por lo tanto,

$3.9 p = p^2 - 16 $

es decir,

$ p^2 - 3.9 p - 16 = 0 $

cuyas soluciones son:

$ p = \dfrac{1}{2} ( 3.9 + \sqrt{ (3.9)^2 + 64 } ) = 6.4 m$

Por lo tanto, la proporción requerida es

$ \dfrac{p}{d} = \dfrac{6.4}{16} = 0.4 $

Esa fue la solución de la parte(a).

Para la parte (b), si quieres mantener el diámetro $d$ sin cambios, entonces debes aumentar $p$. Idealmente, queremos que $p$ sea igual a $8$.