Pontrjagin dualidad de profinito y grupos abelianos de torsión

Question

Estoy teniendo problemas para demostrar ejercicio 6.11.3 de "Introducción al álgebra homológica" por Weibel. Necesito mostrar que la categoría de torsión abelian grupos es dual a la categoría de profinite abelian grupos. También da una pista para demostrar que $A$ es una torsión de abelian grupo iff $\hom(A,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ es un profinite grupo.

Estoy atascado con la sugerencia. He demostrado que la torsión grupo abelian parte implica que $$\hom(A,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}) = \lim_{\leftarrow} \hom(H,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}),$$ with $H$ going through all finite subgroups of $$ con mapas de restricción como homomorphisms en la manera obvia. No tengo absolutamente ninguna idea de cómo prueba la otra implicación. Yo también no veo cómo esto va a ayudar a asociar una torsión de abelian grupo a un profinite abelian grupo para hacer la dualidad.

Los pensamientos ?

Answer 1

He leído algo acerca de la dualidad de Pontryagin y esto es lo que he encontrado: Dualidad de Pontryagin dice que $\hom(\hom(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z}),\mathbb{R}/\mathbb{Z}) = G$ en el caso de $G$ ser localmente compacto grupo abelian y $\hom$ permanente para todo el grupo continuo homomorphisms. Ahora, en caso de $G$ siendo una de torsión abelian grupo o una profinite abelian grupo, podemos cambiar $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$ (Si $G$ es de torsión, este es trivial, ya que cada imagen de $g \in G$ tiene orden finito. Si $G$ es profinite, esto se desprende de $$ \hom(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z}) = \hom(\varprojlim G_i,\mathbb{R}/\mathbb{Z}) = \varinjlim\hom(G_i,\mathbb{R}/\mathbb{Z}) = \varinjlim\hom(G_i,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\\ = \hom(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$$, since all $G_i$ are finite). Now, since $\varinjlim\hom(G_i,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ is a quotient $\oplus_i\hom(G_i,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$que es claramente una torsión abelian grupo, hemos terminado.

¿Esto parece correcto ?