Demuestra que si $|f(z)| \geq |f(z_{0})|$ entonces $f(z_{0})=0$

Question

Sea $U \subseteq \mathbb{C}$ un subconjunto abierto y conectado y $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ una función holomorfa.
Sea $z_{0} \in U$ y $r > 0$ con $B_{r}(z_{0}) \subseteq U$.
Si $\forall z \in B_{r}(z_{0})$ $|f(z)| \geq |f(z_{0})|$ entonces $f(z_{0})=0$.

Como $f$ es una función holomorfa, $f$ tiene la propiedad del valor medio y entonces
$|f(z_{0})|\leq \max_{\partial B_{r}(z_{0})}|f|$
pero no sé cómo derivar que es cero.

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $f(z_0) \neq 0$, considere un entorno abierto conectado $V$ de $z_0$ en el cual $f$ nunca se anula y luego aplique el principio de módulos máximos a $g:=\frac{1}{f|_V}$. Tenemos que $|g| \leq |g(z_0)|$, por lo que $g$ es constante en $V$. Así que el teorema de identidad implica que $f \equiv f(z_0)$ en $U$.

Answer 2

Tienes que asumir que $f$ no es una constante. De lo contrario, $f=1$ daría un contraejemplo. Ahora asume que $f$ no es una constante.

Si $f(z_0)$ no es $0$, entonces $|\frac 1 f|$ alcanza su máximo en un punto interior de $B_r(z_0)$, lo cual contradice el Principio del Módulo Máximo.