Sí, esto es posible. Voy a describir un lenguaje incontable $\mathcal L$ y dos estructuras $\mathcal L$-contables elementalemente equivalentes no isomorfas $M_0,M_1$ tales que cualquier otra estructura contable elementalemente equivalente es isomorfa a una de estas. La idea es que $M_0$ codifica el conjunto de todos los subconjuntos de $\mathbb N$ de orden par, y $M_1$ codifica el conjunto de todos los subconjuntos de $\mathbb N$ de orden impar, pero el lenguaje no distingue cuál es cuál.
Tomemos una familia de subconjuntos $\mathcal I\subseteq\mathcal P(\mathbb N)$ tal que toda unión finita de conjuntos en $\mathcal I$ tiene complemento infinito en $\mathbb N,$ pero todo subconjunto infinito de $\mathbb N$ tiene intersección infinita con algún elemento de $\mathcal I.$ Por ejemplo, tomemos los conjuntos de densidad superior cero.
Voy a describir $\mathcal L$ junto con sus interpretaciones en las estructuras $M_i.$ El lenguaje tiene relaciones unarias que dividen el universo en tres tipos de cosas: personas (o "funciones de elección"), calcetines y números naturales. En $M_i$ las personas son símbolos $p_X$ para subconjuntos finitos $X\subset\mathbb N$ de cardinalidad igual a $i$ módulo $2,$ los calcetines son símbolos $s_{0,n}$ y $s_{1,n}$ para cada $n,$ y los números naturales son ellos mismos. El lenguaje también tiene:
- un orden $<$ en los números naturales, y todas las relaciones unarias en los números naturales; estas fuerzan a los números naturales a ser estándar en modelos contables - ver https://mathoverflow.net/q/116327
- constantes $s_{0,n}$ y $s_{1,n}$ para cada $n,$ interpretados como sí mismos
- un símbolo de relación binaria $S$ interpretado como $\{(s_{j,n},n):j\in\{0,1\},n\in\mathbb N\}$
- un símbolo de relación binaria $C$ que $M_i$ interpreta como $\{(p_X,s_{j,n}):|X|\equiv i\pmod{2},j\in\{0,1\},n\in\mathbb N,(j=1)\iff (n\in X)\}$
- para cada $I\in\mathcal I,$ una relación unaria $G_I$ con interpretación $G_I=\{s_{0,n}:n\in I\}$
Para cualquier estructura $\mathcal L$-contable $M$ elementalemente equivalente a $M_0,$ podemos identificar los números naturales de $M$ con $\mathbb N,$ podemos recuperar todos los $s_{j,n},$ y cada persona $p\in |M|$ puede ser identificada con $p_X$ donde $X=X(p,M)=\{n:C^M(p,s_{1,n})\}.$ Definimos $\mathcal X(M)=\{X(p,M):\text{persona }p\in |M|\}.$
Cada $X\in\mathcal X(M)$ es finito. Supongamos lo contrario; existe $I\in\mathcal I$ cuya intersección con $X$ es infinita, y $p_X$ no concuerda eventualmente con $G_I,$ pero dado que $M\equiv M_0,$ sabemos que para toda persona $p$ existe un número natural $n_0$ tal que para todos los calcetines $s$ y todos los $n>n_0$ tenemos $(S(s,n)\wedge G_I(s))\implies C(p,s).$
Nuevamente usando que $M\equiv M_0,$ el conjunto $\mathcal X(M)$ no está vacío, es cerrado bajo la operación $X\mapsto X\Delta Y$ donde $Y$ es cualquier conjunto de cardinalidad dos, y no contiene dos conjuntos que difieran exactamente en un elemento. Por lo tanto, $\mathcal X(M)$ es o el conjunto de todos los conjuntos de orden par, o el conjunto de todos los conjuntos de orden impar. Esto significa que $M$ es isomorfo a $M_0$ o a $M_1$ - todo el modelo está especificado de forma única.
El último paso es comprobar que $M_0$ y $M_1$ son elementalemente equivalentes. Tomamos una fórmula $\phi$ con $M_0\models \phi.$ Está en un lenguaje finito $\mathcal L'\subseteq \mathcal L.$ Existe $n$ tal que $s_{0,n},s_{1,n}\not\in \mathcal L'$ y $n\not\in I$ para cualquier $G_I\in\mathcal L'.$ Las reductos de $M_0$ y $M_1$ en $\mathcal L'$ son isomorfos bajo la biyección que intercambia $s_{0,n}\leftrightarrow s_{1,n}$ e intercambia $p_X\leftrightarrow p_{X\Delta \{n\}}$ para cada $X.$ Por lo tanto, $M_1\models \phi.$
Por lo tanto, $\operatorname{Th}(M_0)$ hace el trabajo.
