Problema de rutas ramificadas

Question

Yo estaba dibujando algunas formas durante la clase, y me encontré con el siguiente problema. Si uno toma medidas de longitud constante, y uno debe desviarse un ángulo constante $\alpha$ el paso anterior ya sea izquierda o derecha en el próximo paso, para un ángulo $\alpha$ ¿qué es el conjunto de todos los puntos posibles puedo llegar en mi camino? Un punto se define como el final de un paso.

Aquí está un diagrama mal dibujado del problema:

Answer 1

NOTA: Esta es tal vez asumiendo que no tienen a su vez cada vez, es decir, puede viajar una unidad en la dirección de la corriente. Depende del ángulo. Si el ángulo es $2 \pi, \pi, \pi / 2, 3 \pi / 2$,$2 \pi / 3$,$4 \pi / 3$, $\pi / 3$ o $5 \pi / 3$ entonces el conjunto de puntos que puede llegar a se forma lo que se llama un "entramado" y "regular mosaico" que usted puede mirar para arriba, pero básicamente significa que sus puntos son regularmente espaciados el uno del otro y forman un mosaico regular patrón que tiene algún tipo de simetría rotacional (y para $2\pi$ o $\pi$será un patrón regular a lo largo de una línea horizontal). Si el ángulo es $\alpha \pi$ donde $\alpha$ es irracional, entonces creo que el conjunto de puntos es difícil de describir con algún tipo de cerrado de forma paramétrica de la fórmula o de una buena descripción, pero el conjunto de puntos que puede alcanzar debe ser densa en el plano (pero no todos los aviones, porque el conjunto de puntos que puede alcanzar es de contables, mientras que el conjunto de puntos en el plano es incontable). Si $\alpha$ es racional no es uno de los valores que he descrito anteriormente, entonces creo que es más complicado, y el conjunto de puntos que puede llegar a no densa. Tal vez alguien puede dejar un comentario y, a continuación, puedo actualizar con una más definitiva descriptivo respuesta para ese caso.