Las simetrías que consideras son simetrías de sabor. Estas mezclan los tres campos que corresponden a las diferentes generaciones o familias de la materia del Modelo Estándar.
Antes de agregar términos de masa, hay una simetría de sabor $U(3)^5$ en el Modelo Estándar sin neutrinos diestros. Agregar neutrinos diestros también agrega otra simetría $U(3)$. Estas son redefiniciones globales de los campos, tomando combinaciones lineales y agregando fases de tal manera que los términos cinéticos son invariantes. Entonces, cada factor $U(3)$ está vinculado a uno de los campos fundamentales de la materia del Modelo Estándar, que son
- el doblete de quarks zurdos,
- quarks diestros arriba,
- quarks diestros abajo,
- el doblete de leptones zurdos,
- electrones diestros
y posiblemente
En general, dado que estas son solo simetrías globales, no necesariamente se respetan en los términos de masa. Para matrices de Yukawa generales, las simetrías $U(3)$ pueden usarse para simplificar estas matrices. Por ejemplo, en el sector de los quarks podemos usar la simetría $U(3)^3$ para diagonalizar una matriz a través de una transformación biunitaria. Intentar hacer lo mismo con la otra matriz de Yukawa requeriría una simetría $U(3)^4$ en general, que no existe. Nos quedamos con una matriz unitaria mezclando diferentes estados de masa en interacciones, la matriz CKM.
En el sector de los leptones, las cosas son similares. Tenemos una simetría global $U(3)^3$ que podemos usar para simplificar las matrices de masa. Como ejemplo, podemos usar la libertad de redefinir los electrones diestros y los dobletes de leptones zurdos para diagonalizar la matriz de masa de los leptones cargados de inmediato. Esto nos deja solo con la simetría $U(3)$ de los neutrinos diestros para simplificar las masas de los neutrinos en general.
Si las masas de los neutrinos surgen de solo una matriz de Yukawa con entradas pequeñas (lo cual es una posibilidad), nuevamente podemos producir una matriz unitaria que rija la mezcla de neutrinos, la matriz PMNS.
Si hay un mecanismo de see-saw, en realidad hay dos matrices que entran en las masas de los neutrinos: la matriz de Yukawa, que puede ser una matriz compleja general y la matriz de masa de Majorana que debe ser simétrica. $$ \mathcal L_m \supset v_1 \nu_i \nu^c_j Y_\nu^{ij} + \nu^c_i \nu^c_j M_\nu^{ij}$$ Siempre podemos diagonalizar la matriz de masa de Majorana con una transformación ortogonal (compleja), pero esto ya consume mucha de nuestra libertad para simplificar la matriz de Yukawa.
Por lo tanto, a veces se restringe aún más la forma de la matriz de masa $M_\nu$ o la matriz de Yukawa $Y_\nu$. Si $$ G^T M_\nu G = M_\nu$$ para un grupo de transformaciones $G$, esto significa que podemos diagonalizar $M_\nu$ y aún así tener todas las transformaciones $G$ restantes para simplificar la matriz de Yukawa. Si imponemos más simetrías en $Y_\nu$, incluso podemos lograr que la matriz de mezcla en el sector de los neutrinos esté más restringida que simplemente una matriz unitaria arbitraria. Como ejemplo, se puede constreñir $M_\nu$ y $Y_\nu$ de manera que la matriz de mezcla tenga la forma tri-bi-maximal.
Puede ser un poco confuso desentrañar todas las transformaciones involucradas. Ayuda entender primero que hay una simetría $U(3)$ para cada fermión fundamental (que es sin masa antes de la ruptura de simetría electro-débil). Estas simetrías pueden usarse para simplificar las matrices de masa sin introducir mezcla de familias. No son suficientes para diagonalizar completamente todas las matrices que aparecen, por lo tanto, nos queda una matriz CKM unitaria.
Si no permitimos las matrices de masa más generales, se puede obtener una matriz de mezcla más específica y más simple. Esta es una suposición de modelo, aunque a menudo está motivada por algún principio de física de alta energía.
Para reafirmarlo de otra manera: De hecho, las simetrías de sabor son las transformaciones unitarias que se pueden realizar sin alterar los términos cinéticos de los fermiones. Pueden usarse para simplificar la parte de masa del lagrangiano. Sin embargo, a veces se abusa del término "simetría de sabor" para referirse en realidad a una simetría impuesta en los términos de masa directamente, antes de realizar rotaciones en el espacio de campo.
EDICION para aclaración: La "simetría de sabor" $$G^T M_\nu G = M_\nu$$ se impone manualmente y es a priori independiente de la libertad para rotar los campos en el espacio de sabor. La relación entra en juego una vez que deseas construir realmente los estados de masa. Es solo en ese paso que $G$ se convierte en una libertad residual para transformar los estados de masa entre sí, sin perturbar la forma diagonal de la matriz de masa de Majorana.
También puedes imponer alguna simetría en la matriz de Yukawa. La generalización adecuada de la ecuación anterior sería $$ G^{-1} Y G = Y. $$ La restricción al traspuesto $G^T$ en lugar de $G^{-1}$ proviene de la simetría de la matriz de masa de Majorana, lo que la hace diagonalizable con matrices ortogonales, para las cuales $G^T = G^{-1}$.
