Si $x^{x^{x+1}}=\sqrt{2}$, entonces evalúa $x^{x^{p}}$, donde $p = 2x^{x+1}+x+1$

Question

No puedo entender cómo dar una forma adecuada a esta expresión para usar la raíz de dos.

Si $$x^{x^{x+1}}=\sqrt{2}$$ encuentra el valor de $W$ si $$W=x^{x^{p}} \quad\text{donde}\; p = 2x^{x+1}+x+1$$

EDITAR: Este es un problema de manipulación algebraica con los exponentes. Hubo un error en la versión anterior (ver el Historial de Edición) que he corregido.

Answer 1

Suponiendo $x^{x^{x+1}} = \sqrt 2$, \begin{align*} x^{x^{2x^{x+1} + x + 1}} &= x^{x^{2x^{x+1}} \cdot x^{x+1}} \\ &= x^{\left(x^{x^{x+1}}\right)^{2} \cdot x^{x+1}} \\ &= x^{\left(\sqrt{2}\right)^{2} \cdot x^{x+1}} \\ &= x^{2 \cdot x^{x+1}} \\ &= \left(x^{x^{x+1}}\right)^{2} \\ &= \left(\sqrt{2}\right)^{2} \\ &= 2 \end{align*}

Answer 2

Haciéndolo numéricamente obtengo $W=2.7564025221095 $. ¿Es esto lo que estás buscando o necesitas representarlo con $\sqrt 2$?

Answer 3

$x^{x^x} = \sqrt{2} \implies x^x = log_x\sqrt2$

Ahora:

$W = x^{x^{2x^{x+1}+x+1}} = x^{\left(x^{2x^{x+1}}x^xx\right)} = x^A$

Dejemos que el exponente sea A por el momento:

$A = x^{2x^{x+1}}x^xx = \left(x^{x^{x+1}}\right)^2x^xx = \left(x^{x^xx}\right)^2x^xx$

Dado que $x^x = log_x\sqrt2$, tenemos que $A = \left(x^{xlog_x\sqrt{2}}\right)^2xlog_x\sqrt{2} = (\sqrt{2}^x)^2xlog_x\sqrt{2}$

Sea $\sqrt{2}^x = B \implies A = B^2log_x(B) = log_x(B^{B^2})$

Recuerda que $W = x^A = B^{B^2} = (\sqrt{2}^x)^{2^x}$

¿Qué hacer a partir de aquí?

Answer 4

Para evitar exponentes de 3 pisos, dejemos que $y = x^{x+1}$

Entonces se da que $x^y = \sqrt{2}$ o $x^{2y} = 2$

$$p = 2y + (x+1)$$

$$x^p = x^{2y} x^{x+1} = 2y$$

$$x^{x^{p}} = x^{2y} = 2$$