He estado tratando de entender las funciones de Green y usandolas para resolver ecuaciones diferenciales. Me he encontrado con un bloqueo en cuanto a la dimensionalidad y las unidades.
Entiendo que la función de Green tiene una dimensionalidad de $L^{-n}$ donde $L$ representa longitud y $n$ es la dimensionalidad del problema. Por lo tanto, para un problema 2D, la función de Green tendría una dimensionalidad de -2.
De las definiciones que he visto, tenemos el segundo teorema de Green en 2D
$$\iint(u\nabla^2G-G\nabla^2u)dA = \int(u{\nabla}G-G{\nabla}u).\hat{n}\,dS$$
donde $A$ es el área del problema y $S$ es la frontera. $u$ es alguna función que deseamos encontrar, sabiendo que $\nabla^2u$ y $G$ es la función de Green para el problema.
Para obtener el tercer teorema de Green utilizamos el hecho de que
$$\nabla^2G(x, x') = \delta(x-x')$$
y
$${\int}f(x)\delta(x-a)\,dx = f(a).$$
Dividimos la integral de área del segundo teorema de Green
$$\iint u\nabla^2G\,dA-\iint G\nabla^2u\,dA = \int(u{\nabla}G-G{\nabla}u).\hat{n}\,dS$$
luego aplicamos las dos ecuaciones anteriores para eliminar la integral sobre $u\nabla^2G\,dA$
$$u-\iint G\nabla^2u\,dA = \int(u{\nabla}G-G{\nabla}u).\hat{n}\,dS$$
Sin embargo, en este punto la ecuación deja de ser consistentemente dimensional. Hemos perdido la dimensionalidad al multiplicar por $G$.
¿Cómo reconciliamos esto?
