Sobre un ejercicio de la Geometría Algebraica de Hartshorne

Question

Mi pregunta se refiere al ejercicio 1.8 de la página 8 del libro GTM52 de Robin Hartshone.

Dejemos que $Y$ sea una variedad afín de dimensión $r$ en $\mathbb{A}^n$ . Sea $H$ sea una hipersuperficie en $\mathbb{A}^n$ y asumir que $Y\nsubseteq H$ . Entonces demuestre que cada componente irreducible de $Y\cap H$ tiene dimensión $r-1$

Esta es mi idea para probar :

Supongamos que $Y\cap H =\cup U_i$ entonces $I(Y\cap H)=I(\cup U_{i})$ . No es difícil comprobar que $f \in I(Y\cap H)$ entonces $(f)\subseteq I(U_{i})$ para cada $i$ . Desde $U_i$ es irreducible entonces $I(U_{i})$ es un ideal primo.

Entonces, si $I(U_i)$ es mínimo sobre $(f)$ entonces podemos utilizar el Teorema del Ideal Principal de Krull para demostrar que ht $I(U_i)=1$ , entonces dim $U_i=r-1$

Tengo dos preguntas:

• ¿Se equivoca mi estrategia?
• Si estoy en el camino correcto, ¿cómo puedo demostrar que $I(U_{i})$ es mínimo sobre $(f)$ ?

Gracias por leer mi pregunta.

Answer 1

Dejemos que $f$ sea una función regular que define la hipersuperficie $H$ y supongamos que el $U_i$ son los componentes irreducibles de $Y\cap H$ (en caso contrario, el resultado no es verdadero). Si $I(U_i)$ no es mínimo sobre $(f)$ contiene estrictamente un ideal primo $J\ni f$ . Así que $U_i\subsetneq Z(J) \subseteq Z(f)=H$ . Como $Z(J)$ es irreducible, esto contradice la hipótesis de que $U_i$ es un componente irreducible de $H\cap Y$ .