Determinación del orden de las matrices en $GL_2(\mathbb{F}_7)$

Question

Necesito determinar los órdenes de las siguientes matrices en el grupo $GL_2(\mathbb{F}_7)$: $$\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ y } \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

¿Podría alguien proporcionarme una solución completa para la primera matriz para que sepa cómo volver a hacerlo con la segunda matriz?

Gracias de antemano

Answer 1

Una respuesta parcial lo suficientemente buena para tu pregunta específica: $$\pmatrix{1&m\\0&1}\pmatrix{1&n\\0&1}=\pmatrix{1&m+n\\0&1}\,,$$ y $$\pmatrix{a&0\\0&1}\pmatrix{b&0\\0&1}=\pmatrix{ab&0\\0&1}\,.$$ Estas relaciones son válidas sin importar dónde (es decir, en qué anillo) se encuentren las entradas. Entonces la pregunta se reduce a preguntar el orden aditivo de $1$ y el orden multiplicativo de $2$ en $\mathbb F_7^+$ y $\mathbb F_7^\times$, respectivamente.