¿Cómo funciona este paso reescribiendo la derivada de Lie de un campo vectorial?

Question

Estoy leyendo algunas notas de geometría diferencial y me quedé atascado tratando de entender lo que parece ser una parte simple de una demostración pero que para mí surge de la nada.

Sea $M$ una variedad suave y sean $X,Y$ dos campos vectoriales suaves en la variedad. Entonces se puede definir la derivada de Lie de $Y$ en dirección de $X$ como

$$L_X Y = \frac{d}{dt} ((\Psi_{-t})_* Y) \bigg \vert_0.$$

Aquí, $\Psi_{-t}$ denota el flujo local del campo vectorial $X$, es decir, en alguna vecindad de algún punto uno tiene $$\frac{d}{dt} \Psi_t(q) = X_{\Psi_t(q)}.$$

$(\Psi_{-t})_*$ denota el push-forward de $\Psi_{-t}$ y tenemos $$(\Psi_{-t})_* Y)_{\Psi_{-t}p} = {d\Psi_{-t}}_p Y_p$$ y por lo tanto $$(\Psi_{-t})_* Y)_{p} = {d\Psi_{-t}}_{\Psi_{t}(p)} Y_{\Psi_{t}(p)}.$$

Ahora, en la demostración de que la definición anterior para la derivada de Lie es la misma que usar $[X,Y]$ donde esto denota el corchete de Lie, el primer paso es el siguiente: Para una función $f \in C^{\infty}(M)$, tenemos

$${L_X Y}_p \cdot f = \frac{d}{dt}(Y_{\Psi_{t}(p)} \cdot (f \circ \Psi_{-t}) ) \bigg \vert_{t = 0}.$$

Este es ya el paso que no entiendo: A partir de lo anterior tenemos

$${L_X Y}_p \cdot f = \frac{d}{dt}{d\Psi_{-t}}_{\Psi_{t}(p)} Y_{\Psi_{t}(p)}\bigg \vert_{t = 0} \cdot f.$$

¿Cómo podemos ahora introducir la función $f$ "dentro" de la derivada temporal, y de dónde proviene el cambio en el orden de la composición?

Si el elemento entre paréntesis fuera algún $t \to M$ entonces tal vez tendría más sentido para mí, ya que los elementos del espacio tangente $T_pM$ pueden ser representados por tales curvas (o más bien sus derivadas en el punto $p$), pero aquí tenemos una curva en $T_pM$.

¿Podría alguien por favor explicarme un poco este paso?

Answer 1

Nota $$L_{X}Y(p)f = \frac{d}{dt}(d\psi_{-t}(\psi_t(p))Y(\psi_t(p))|_{t = 0})f =: (\frac{d}{dt}X_t(p)|_{t = 0})f$$

Tenga en cuenta que $X_{t}(p) \in T_pM$ para todo $t$ y usando coordenadas tenemos $$\frac{d}{dt}(X_t(p)f) = \frac{d}{dt}\sum_{i}\partial_if(p)X_{t}^i(p) = \sum_{i}\partial_if(p)\frac{d}{dt}X_t^i(p) = (\frac{d}{dt}X_t(p))f.$$ Por lo tanto $$\frac{d}{dt}(d\psi_{-t}(\psi_t(p))Y(\psi_t(p))|_{t = 0})f = \frac{d}{dt}(d\psi_{-t}(\psi_t(p))Y(\psi_t(p))f|_{t = 0}).$$

Ahora note que, por definición, $X_t(p)f = df(p)X_t(p)$. Por lo tanto, por la regla de la cadena $$d\psi_{-t}(\psi_t(p))Y(\psi_t(p))f = df(p)d\psi_{-t}(\psi_t(p))Y(\psi_t(p)) = d(f \circ \psi_{-t})(\psi_t(p))Y(\psi_t(p)) = Y(\psi_t(p))(f \circ \psi_{-t}).$$ Esto completa su demostración.