Estoy leyendo algunas notas de geometría diferencial y me quedé atascado tratando de entender lo que parece ser una parte simple de una demostración pero que para mí surge de la nada.
Sea $M$ una variedad suave y sean $X,Y$ dos campos vectoriales suaves en la variedad. Entonces se puede definir la derivada de Lie de $Y$ en dirección de $X$ como
$$ L_X Y = \frac{d}{dt} ((\Psi_{-t})_* Y) \bigg \vert_0.$$
Aquí, $\Psi_{-t}$ denota el flujo local del campo vectorial $X$, es decir, en alguna vecindad de algún punto uno tiene $$ \frac{d}{dt} \Psi_t(q) = X_{\Psi_t(q)}.$$
$(\Psi_{-t})_*$ denota el push-forward de $\Psi_{-t}$ y tenemos $$(\Psi_{-t})_* Y)_{\Psi_{-t}p} = {d\Psi_{-t}}_p Y_p$$ y por lo tanto $$(\Psi_{-t})_* Y)_{p} = {d\Psi_{-t}}_{\Psi_{t}(p)} Y_{\Psi_{t}(p)}.$$
Ahora, en la demostración de que la definición anterior para la derivada de Lie es la misma que usar $[X,Y]$ donde esto denota el corchete de Lie, el primer paso es el siguiente: Para una función $f \in C^{\infty}(M)$, tenemos
$$ {L_X Y}_p \cdot f = \frac{d}{dt}(Y_{\Psi_{t}(p)} \cdot (f \circ \Psi_{-t}) ) \bigg \vert_{t = 0}.$$
Este es ya el paso que no entiendo: A partir de lo anterior tenemos
$$ {L_X Y}_p \cdot f = \frac{d}{dt}{d\Psi_{-t}}_{\Psi_{t}(p)} Y_{\Psi_{t}(p)}\bigg \vert_{t = 0} \cdot f.$$
¿Cómo podemos ahora introducir la función $f$ "dentro" de la derivada temporal, y de dónde proviene el cambio en el orden de la composición?
Si el elemento entre paréntesis fuera algún $t \to M$ entonces tal vez tendría más sentido para mí, ya que los elementos del espacio tangente $T_pM$ pueden ser representados por tales curvas (o más bien sus derivadas en el punto $p$), pero aquí tenemos una curva en $T_pM$.
¿Podría alguien por favor explicarme un poco este paso?
