Buscando enfoques alternativos: $w = \dfrac{12z}{|z^2|}$ con $|z| = |z - 6 - 6i|.$ Muestra que $w$ yace en un círculo.

Question

$z$ representa todos los números complejos tal que $|z| = |z - 6 - 6i|.$ El número complejo $w$ satisface $w = \dfrac{12z}{|z^2|}.$ Muestra que el punto que representa a $w$ en el plano complejo $Oxy$ se encuentra en un círculo.

Aquí hay una solución que encontré:

$w = \dfrac{12z}{|z^2|} \implies w\overline{z} = 12$

$|z| = |z - 6 - 6i| \iff |\overline{z}| = |\overline{z} - 6 + 6i|$

$\implies |w\overline{z}| = |w\overline{z} + (-6 + 6i)w| \iff |(-6 + 6i)w + 12| = 12 \iff |w - 1 - i| = \sqrt{2}$

$\implies$ El punto que representa a $w$ en el plano complejo se encuentra en el círculo con centro en $(1, 1)$ y radio $\sqrt{2}.$

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Por otro lado, comencé mostrando que el punto que representa a $z$ se encuentra en la recta $x + y = 6$. Luego no pude avanzar desde $w = \dfrac{12z}{|z^2|} = \dfrac{12(x + yi)}{x^2 + y^2}$. Intenté dejar $m = \dfrac{12x}{x^2 + y^2}$ y $n =\dfrac{12y}{x^2 + y^2},$ lo cual da $m^2 + n^2 = \dfrac{12^2}{x^2 + y^2},$ pero eso no parece llevar a ninguna parte.

¿Es posible demostrarlo siguiendo la dirección que estaba tomando? También me gustaría escuchar otros enfoques si existen. ¡Gracias!

Answer 1

La dificultad que tienes parece surgir de no usar realmente la relación entre $x$ y $y$ que restringe $z$ a una línea.

Si $z = x + yi$ está en una línea que satisface $x + y = 6$, entonces $z = x + (6-x)i$ para cualquier $x$ real. Así que $$|z^2| = |z|^2 = x^2 + (6-x)^2 = 2(x^2 - 6x + 18)$$ y $$w = \frac{12z}{|z^2|} = \frac{12(x + (6-x)i)}{2(x^2 - 6x + 18)} = \frac{6x}{x^2 - 6x + 18} + \frac{6(6-x)}{x^2 - 6x + 18} i. \tag{1}$$ Esto corresponde a una ecuación paramétrica para un punto en el plano complejo como una función de un parámetro $x$, pero sin conocer la respuesta de antemano, no está claro qué forma describe este recorrido.

Generalmente, cuando se nos da una ecuación paramétrica $(x(t), y(t))$ para alguna curva parametrizada por $t$ y estamos interesados en una ecuación implícita equivalente para esta curva, estamos motivados para eliminar el parámetro $t$ encontrando alguna relación entre $x$ y $y$. Para evitar confusiones, renombraremos $x$ como $t$ en $(1)$ y nombraremos la parte real de $w$ como $x$, y la parte imaginaria de $w$ como $y$:

$$x = \Re(w) = \frac{6t}{t^2 - 6t + 18}, \quad y = \Im(w) = \frac{6(6-t)}{t^2 - 6t + 18}. \tag{2}$$

Ahora el "juego" aquí es tratar de encontrar una ecuación para $x$ y $y$ que no incluya $t$. Una cosa que podríamos hacer es $$\frac{t^2 - 6t + 18}{6} = \frac{t}{x} = \frac{6-t}{y}.$$ Luego cruzando las multiplicaciones y resolviendo para $t$ obtenemos $$yt = (6-t)x$$ o $$t = \frac{6x}{x+y}. \tag{3}$$ Ahora podemos sustituir esto en cualquiera de las ecuaciones en $(2)$ lo que elimina $t$. Vamos a elegir la ecuación para $x$: $$x = \frac{6t}{t^2 - 6t + 18} = \frac{6\frac{6x}{x+y}}{\frac{36x^2}{(x+y)^2} - \frac{36x}{x+y} + 18} = \frac{2x(x+y)}{x^2+y^2}. \tag{4}$$ Hence $$x^2 + y^2 = 2(x+y)$$ o $$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 2$$ o $$(x-1)^2 + (y-1)^2 = (\sqrt{2})^2, \tag{5}$$ que ahora reconocemos como la ecuación de un círculo en $(1,1)$ con radio $\sqrt{2}$.

Answer 2

Enfoque alternativo, más simple pero menos elegante, que puede ser visto como una rehabilitación del enfoque $~(x + iy)~$ intentado por el autor original:

Primero, estableciendo $~z = x + iy ~: x,y \in \Bbb{R}, ~$ verifique el punto de partida analítico de que el conjunto de todos los $~z~$ que satisfacen la ecuación es dado por cualquier número complejo de la forma $~[~x + i(6-x) ~].$

Esto se hace mediante

$$x^2 + y^2 = (x - 6)^2 + (y - 6)^2 \iff -12(x+y) + 72 = 0.$$

Luego, estableciendo $~w = (u + iv) ~: ~u,v \in \Bbb{R},~$ tienes que

$$(u + iv) = \frac{12(x + iy)}{| ~[x^2 - y^2] + i[2xy] ~|}. \tag1 $$

El denominador en (1) anterior puede ser simplificado al notar que

$$(x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2 = (x^2 + y^2)^2.$$

Nota que dado que $~(x + y) = 6,~$ el denominador de (1) anterior nunca puede ser igual a $~0.$

Por lo tanto, la restricción (1) será verdadera, si y solo si

$$(u + iv) = \frac{12(x + iy)}{x^2 + y^2}. \tag {1.1}$$

Entonces, la restricción (1.1) anterior se utilizará en lugar de la restricción (1) anterior.

Lo siguiente es tener claro el objetivo. Debes encontrar un $~z_0 = (x_0 + iy_0) ~: ~x_0,y_0 \in \Bbb{R},~$ y un $~r \in \Bbb{R_{\geq 0}},~$ tal que siempre que se cumpla la restricción (1.1), también se cumpla que

$$| ~(u + iv) - (x_0 + iy_0) ~| = r \iff $$

$$\sqrt{ ~(u - x_0)^2 + (v - y_0)^2 ~} = r \iff $$

$$(u - x_0)^2 + (v - y_0)^2 = r^2, \tag2 $$

ya que tanto $~(u - x_0)^2~$ como $~(v - y_0)^2~$ son no negativos.

Editar
La afirmación de que $~r~$ puede específicamente ser igual a $~0,~$ puede ser considerada como muy discutible, dada la palabra círculo utilizada en el problema original. Dejo esta posibilidad, ya que resulta ser inofensiva para el análisis.

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Se puede asumir que la restricción (1.1) se cumple, y la restricción (2) se cumplirá si y solo si

$$\left( ~\frac{12x}{x^2 + y^2} - x_0 ~\right)^2 + \left( ~\frac{12y}{x^2 + y^2} - y_0 ~\right)^2 = r^2.$$

Establezca $~(x_1, y_1) = \left( ~\dfrac{x_0}{12}, ~\dfrac{y_0}{12} ~\right),~$ y establezca $~r_1^2 = \dfrac{r^2}{(12)^2} ~: ~r_1 \geq 0.$

Entonces, se puede asumir que la restricción (1.1) se cumple, y la restricción (2) se cumplirá si y solo si

$$\left( ~\frac{12x}{x^2 + y^2} - 12x_1 ~\right)^2 + \left( ~\frac{12y}{x^2 + y^2} - 12y_1 ~\right)^2 = r^2 \iff $$

$$\frac{\left[ ~12x - 12x_1\left(x^2 + y^2\right) ~\right]^2 + \left[ ~12y - 12y_1\left(x^2 + y^2\right) ~\right]^2}{( ~x^2 + y^2 ~)^2} = r^2 \iff $$

$$\left[ ~x - x_1\left(x^2 + y^2\right) ~\right]^2 + \left[ ~y - y_1\left(x^2 + y^2\right) ~\right]^2 = \frac{r^2 (x^2 + y^2)^2}{(12)^2} \iff$$

$$\left[ ~x - x_1\left(x^2 + y^2\right) ~\right]^2 + \left[ ~y - y_1\left(x^2 + y^2\right) ~\right]^2 = r_1^2(x^2 + y^2)^2. \tag{2.1}$$

Así, todo el problema se ha transformado en encontrar valores específicos $~(x_1,y_1)~$ y $~r_1,~$ de modo que si $~(x + y) = 6,~$ entonces se cumple la restricción (2.1).

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Suponiendo que $~(x + y) = 6~$ entonces

• $y~$ se convierte en $~(6 - x),~$ y

• $(x^2 + y^2)~$ se convierte en $~( ~2x^2 - 12x + 36 ~).$

Entonces, la restricción 2.1 se convierte en

$$[ ~2x^2 - 12x + 36 ~]$$

$$+ [ ~( ~x_1^2 + y_1^2 ~) ~( ~2x^2 - 12x + 36 ~)^2 ~]$$

$$- \left\{ ~[ ~2xx_1 + 2(6-x)y_1 ~] ~[ ~2x^2 - 12x + 36 ~] ~\right\}$$

$$= r_1^2 ~( ~2x^2 - 12x + 36 ~)^2 \iff $$

$$[ (x_1^2 + y_1^2 - r_1^2) ~( ~2x^2 - 12x + 36 ~)^2 $$

$$+ \left\{ ~[ 1 - 2xx_1 - (12 - 2x)y_1 ~] ~[ ~2x^2 - 12x + 36 ~] ~\right\}$$

$$= 0 \iff ~[ ~\text{since} ~x^2 + y^2 \neq 0 ~]$$

$$[ (x_1^2 + y_1^2 - r_1^2) ~( ~2x^2 - 12x + 36 ~) $$

$$= [ 2xx_1 + (12 - 2x)y_1 - 1 ~]. \tag3 $$

Para identificar $~(x_1,y_1)~$ y $~(r_1),~$ simplemente interpreta la restricción (3) anterior como una ecuación polinómica de segundo grado en la variable $~x~$ y considera que la restricción (3) debe cumplirse para todos los $~x \in \Bbb{R}.~$ Luego, observa qué requisitos pone esto en los coeficientes del LHS de la ecuación polinómica de segundo grado.

Luego, la restricción (3) anterior se convierte en

$$x^2 [ ~2x_1^2 + 2y_1^2 - 2r_1^2 ~]$$

$$+ x[ ~-12(x_1^2 + y_1^2 - r_1^2) + (-2x_1 + 2y_1) ~] $$

$$ + [ ~36(x_1^2 + y_1^2 - r_1^2) + ~(-12y_1 + 1) ~]$$

$$ = 0. \tag4 $$

Dado que la restricción (4) debe cumplirse a medida que $~x~$ varía en todo $~\Bbb{R},~$ debes tener que cada uno de los coeficientes en el polinomio de segundo grado en $~x~$ es igual a $~0.$

Esto implica que

$$(x_1^2 + y_1^2 - r_1^2) = 0 \implies $$

$$\left[ ~(x_1 = y_1) ~~\text{y} ~~\left( ~y_1 = \frac{1}{12} ~\right) ~\right] \implies $$

$$x_1 = y_1 = \frac{1}{12} \implies r_1^2 = \frac{2}{(12)^2} \implies $$

• $\displaystyle x_0 = 12x_1 = 1.$

• $\displaystyle y_0 = 12y_1 = 1.$

• $\displaystyle r^2 = (12)^2 r_1^2 = 2 \implies r = \sqrt{2}.$