Una pregunta sobre el producto de funciones definidas positivas

Question

Demuestra que si $f$ y $g$ son funciones continuas estrictamente positivas en $\mathbf{R}^1$, entonces $f(x)g(y)$ es estrictamente positiva en $\mathbf{R}^2$. Solo quería comprobar si el enfoque que estoy utilizando es correcto.

Definí la matriz $A_{j,k}=f(x_j-x_k)$ y $B_{j,k}=g(y_j-y_k)$ como funciones estrictamente positivas para todos los $x_1 \cdots x_N$ y $y_1 \cdots y_N$. ¿Esto implicaría que $A_{j,k} B_{j,k}=f(x_j-x_k)g(y_j-y_k)$ también es estrictamente positiva?

Además, ¿cómo utilizo exactamente el Teorema de Bochner para demostrar lo siguiente?

Realmente aprecio la ayuda, ¡gracias!

Answer 1

El teorema de Bochner establece que $f$ es definida positiva si y solo si $f = \widehat{\mu}$, con $\mu$ una medida de Radón positiva. Si $f_1$, $f_1$ son definidas positivas entonces: $$f_1 \cdot f_2 = \widehat{\mu_1} \cdot \widehat{\mu_2} = \big(\mu_1 \ast \mu_2 \big)^\wedge,$$ y la convolución de dos medidas positivas es positiva.