Mostrar que un conjunto en un espacio métrico es completo

Question

Sea X la bola unitaria cerrada en $(\mathbb R ^2,||.||)$ donde $||.||$ es la norma euclidiana. Sea: $$d(x,y)= \left \{ \begin{array}{r c l} ||x-y|| & \text{si x, y y 0 están en la misma recta}\\ ||x||+||y|| & \text{en otro caso} \end{array} \right .$$ Quiero mostrar que $(X,d)$ es completo.

He intentado diferentes enfoques:

1. Usando la cota $d(x,y)\geq|\space ||x|| - ||y|| \space | $ luego utilizando que $(X,||.||)$ es completo (porque es compacto) puedo demostrar que si $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy en $(X,d)$ entonces $||x_n||$ converge en $(X,||.||)$. Pero no veo cómo seguir desde ahí.
2. Sea $(x_n)$ una sucesión de Cauchy en $(X,d)$. Si solo hay un número finito de términos tales que $x_n,x_m,0$ no están en la misma recta entonces puedo demostrar que la secuencia converge en $(X,d)$. De la misma manera, si solo hay un número finito de términos tales que $x_n,x_m,0$ están en la misma recta entonces puedo demostrar que la secuencia converge a 0 en $(X,d)$. Pero no sé qué hacer si hay un número infinito de términos tales que $x_n,x_m,0$ están en la misma recta y un número infinito de términos tales que $x_n,x_m,0$ no están en la misma recta.

Answer 1

$(X,d)$ ciertamente no es compacto ($S^1$ es cerrado y discreto). Así que el 1. es un callejón sin salida. Simplemente muestra que $(\Bbb R^2,d)$ es completo y entonces también lo serán todos los subconjuntos cerrados, incluida la bola unitaria cerrada.

Si $(x_n)_n$ es una sucesión de Cauchy en $(\Bbb R^2,d)$, entonces la definición deja claro que para infinitos índices, o bien $x_n$ yacen en una línea común a través del origen, y entonces la métrica es simplemente la usual (de $\Bbb R$) en esa línea, y podemos aplicar la completitud a esa subsecuencia, o bien los $x_n$ yacen dentro de una pequeña bola cerrada alrededor del radio (en la métrica usual) y luego podemos aplicar la completitud de una bola cerrada para mostrar la convergencia de esa subsecuencia también. Finalmente, luego aplicamos que si una sucesión de Cauchy tiene una subsecuencia convergente, converge en su totalidad a ese mismo límite.

P.ej. si infinitos $x_n$ (digamos $n \in M \subseteq \Bbb N$) yacen fuera de $\{x\in \Bbb R^2\mid \|x\| \le r\}$ entonces si $x_n,x_m$ para $x \notin M$ no yacen en la misma línea, su distancia sería al menos de $2r$ y por lo tanto no podrían ser parte de una sucesión de Cauchy.