Desarrollo en serie de $\ln(1+(1-x)^{1/2})$

Question

Estoy practicando expansiones en series creando algunas expresiones, intentando hacerlo por mí mismo y luego verificándolo con Wolfram Alpha. Sin embargo, tengo algunos problemas con el siguiente ejemplo

Necesito expandir $\ln(1+(1-x)^{1/2})$. Mi enfoque fue primero expandir $$(1-x)^{1/2} = 1 -\frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{16}+O(x^3)$$ luego utilicé la expansión de $$ \ln(1+v) = v-\frac{v^2}{2}+\frac{v^3}{3}+O(v^3) $$ y en lugar de $v$, sustituí la expansión en serie de $(1-x)^{1/2}$. El resultado final que obtuve fue $$ \frac{5x}{6}-\frac{x^2}{2}-\frac{5x^3}{36} +O(x^3).$$ Sin embargo, en este caso Wolfram Alpha me da%5D) la siguiente respuesta: $$ \ln 2-\frac{x}{4}-\frac{3 x^2}{32}-\frac{5 x^3}{96}-\frac{35 x^4}{1024}-\frac{63 x^5}{2560}+O(x^6) $$

¿Por qué mi respuesta es diferente, ya que me parece que mi enfoque es correcto?

¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Tus dos primeras expansiones son correctas, para $x$ y $v$ respectivamente yendo a $0$. Sustituyendo, ahora obtienes $$ \ln( 1 + \sqrt{1-x} ) = \ln( 1 + 1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{16} + O(x^3) ) = \ln( 2-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{16} + O(x^3) ) $$ y aquí está tu problema: el desarrollo de $\ln(1+u)$ ya no es alrededor de $0$, sino alrededor de $1 (ya que tienes $\ln(2+u) = \ln(1+(1+u))$). Para manejar esto, puedes reescribir: $$ \ln( 2-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{16} + O(x^3) ) = \ln 2 + \ln( 1-\frac{x}{4}-\frac{x^2}{16}-\frac{x^3}{32} + O(x^3) ) $$ usando $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, y proceder.

Resumen: al componer expansiones de Taylor alrededor de $0$, asegúrate de que cada paso siga siendo una expansión de Taylor alrededor de $0$. La expansión de la función interna puede cambiar esto.

Otro ejemplo similar: realiza una expansión de Taylor de $e^{\cos x}$ alrededor de 0.