A y B juegan al ping pong varias veces. La persona que sirve primero tiene una probabilidad p de ganar ese juego. A sirve el primer juego y luego el perdedor sirve primero.
Si p(n) = pbt que A gane el juego n-ésimo, entonces: p(n) = p*p(n-1) + (1-p)*(1-p(n-1))
¿Eso es simplemente porque:
Si A gana el juego n-1, entonces gana el juego n = p.
Si A pierde el juego n-1, entonces gana el juego n = 1-p
Probablemente esté omitiendo algo.
Sea $p(n)$ la probabilidad de que A gane el $n$-ésimo juego. Suponemos que lo que has escrito es correcto, que el perdedor del juego anterior sirve primero, y que la persona que sirve primero en un juego tiene probabilidad $p$ de ganar el juego.
Para cualquier $n \ge 2$, el evento "A gana el $n$-ésimo juego" puede ocurrir de dos maneras disjuntas: (i) A ganó el juego anterior, y luego gana o (ii) A perdió el juego anterior, y luego gana.
La probabilidad del evento (i) es $p(n-1)(1-p)$. Para el post dice que el perdedor del juego anterior sirve primero. Dado que A ganó el juego anterior, ella no sirve primero en el siguiente, y por lo tanto su probabilidad condicional de ganar el siguiente es $1-p$. Por lo tanto, la probabilidad de que ella gane el juego $(n-1)$-ésimo y gane el $n$-ésimo es $p(n-1)(1-p).
La probabilidad del evento (ii) es $(1-p(n-1))p$. Así que $$p(n) = (1-p)p(n-1) + p(1-p(n-1)).$$
Observaciones: La fórmula que obtuvimos es una fórmula de recurrencia para $p(n)$. Nota que no es exactamente la misma que la tuya, lo que quizás explica por qué justificar la tuya causó desconcierto.
Se puede usar la fórmula de recurrencia para obtener una fórmula explícita para $p(n)$ como una función de $n.
Debería haber cambiado $p(k)$ a algo como $a_k$ para hacer que las expresiones sean más fáciles de leer.
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