El menor número que es múltiplo de 60 y el entero n es de 180. Encontrar el menor valor posible de n.

Question

Tengo una solución, pero creo que es un salvaje adivinado. Dime si estoy en lo correcto y si no, entonces, ¿cómo debe hacerse?

Lo que he hecho es dividir 180 por 60 para obtener 3. A continuación, tomar el mcm de los 60 y los múltiplos de 3, uno por uno hasta que yo llegue a 180 como el lcm.

Así que me gustaría, en primer lugar tomar el mcm de los 60 y 3, luego de 60 años y 6, luego de 60 años y 9 después de la que me gustaría llegar a 180.

Es esta la forma correcta de resolverlo?

P. S Esto es sólo un 1 punto pregunta de uno de los de papel de O Niveles, en los que las calculadoras no están permitidas y no más de 1 o 2 líneas en blanco son para el trabajo :/. Mantenga esto en mente. :P

Answer 1

$$180=2^2.3^2.5$ $ $$60=2^2.3.5$ $ así $n$ debe tener el mismo primos como $180$ $$n=2^i3^j5^k$$ where $i,j\leq 2$ and $k\leq 1$

$60$ no es un múltiplo de $n$, de lo contrario su $lcm$ habría sido $60$. Por lo tanto, debemos tener $$n\equiv 0 \pmod {3^2}$$ It follows the smallest $n $: $% $ $n=9$

Answer 2

$$\operatorname{lcm}(60,n) = 180$$

$$ \operatorname {lcm} (2 ^ 2 \cdot 3 ^ 1 \cdot 5 ^ 1, 2 ^ {n_2} \cdot 3 ^ {n_3} \cdot 5 ^ {n_5}) = 2 ^ 2 \cdot 3 ^ 2 \cdot 5 ^ 1$ $

$$ 2^{\max(2,n_2)} \cdot 3^{\max(1,n_3)} \cdot 5^{\max(1,n_5)} = 2 ^ 2 \cdot 3 ^ 2 \cdot 5 ^ 1$ $

\begin{align} \max(2,n_2) &= 2\\ \max(1,n_3) &= 2 \\ \max(1,n_5) &= 1 \end {Alinee el}

Los exponentes posibles más pequeños son así

\begin{align} n_2 &= 0\\ n_3 &= 2 \\ n_5 &= 0 \end {Alinee el}

Así $ n = 2^0 \cdot 3^2 \cdot 5^0 = 9$.

Answer 3

$n$ es el número más pequeño que divide 180 pero no 60. (Si dividieron ambos, 180 no podría ser menos común múltiplo porque $60 < 180$.)

Son de los primos en $60$ $(2, 2, 3, 5)$ y las $180$ $(2, 2, 3, 3, 5)$.

Si divide a $n$ $180$, sus primos se encuentran en $(2, 2, 3, 3, 5)$.

Es de la lista más pequeña pero no en $(2, 2, 3, 3, 5)$ $(2, 2, 3, 5)$ $(3, 3)$ y $3 \cdot 3 = 9$.

Answer 4

Dados dos enteros positivos $A,B$, usted tiene $AB=gcd(A,B) lcm(A,B)$.

Aquí, $A=n, B=60$ y $lcm(A,B)=180$. Por lo tanto, llamar a $g$ el gcd de $n$ y $60$:, % o $60n=180g$ $n=3g$.

Así $n$ es un múltiplo de $3$. Pero entonces, el MCD es también un múltiplo de $3$, puesto que divide a $3$ $60$. Por lo tanto, $n$ es un múltiplo de $9$. El múltiplo más pequeño de $9$ es $9$ sí mismo, y usted puede comprobar que funciona.

Answer 5

Totalmente sin el uso de las matemáticas:

x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ya son divisores de 60, por lo que el mínimo común múltiplo de 60 y x es de 60.

180 no es un múltiplo de x = 7 o 8, por lo tanto no es el mínimo común múltiplo de 60 y x; no es un múltiplo de x en absoluto.

Sea x = 9: Sí, el mínimo común múltiplo de 60 y 9 es de 180. Porque los múltiplos de 60 son de 60, 120, 180, 240, ... y el primero de esos que es también un múltiplo de 9 es de 180.

(En el caso general, la factorización de los números que corresponden a los 60 y 180 en factores primos le dará la solución rápida).