Prueba que Cov(X,Y)=Cov(X,E[Y|X])

Question

He estado trabajando en este problema durante 3 horas ahora, y mi falta total de progreso me está desmoralizando. He buscado definiciones, demostraciones e incluso he visto una solución para este problema en particular. Sin embargo, no entendí los pasos que la solución usó, lo que significa que no tengo nada que hacer leyéndola. Espero que si muestro mi intento, ustedes puedan darme algunos consejos. ¡Gracias de antemano!

Aquí está mi trabajo:

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])] =E[XY-X*E[Y]-Y*E[X]+E[X]*E[Y]]$$

Por la linealidad del valor esperado:

\=E[XY]-E[X*E[Y]]-E[Y*E[X]]+E[E[X]*E[Y]], dado que E[Y] y E[X] son constantes, E[X*E[Y]]=E[Y]*E[X]

\=E[XY]-E[X]E[Y]-E[X]E[Y]+E[X]E[Y]

\=E[XY]-E[X]E[Y]

Cov(X,E[Y|X])

\=E[(X-E[X])(E[Y|X]-E[E[Y|X]])]

\=E[(X-E[X])(E[Y|X]-E[Y])]

\=E[X*E[Y|X]-X*E[Y]-E[X]E[Y|X]+E[X]E[Y]]

\=E[X*E[Y|X]]-E[X*E[Y]]-E[E[X]E[Y|X]]+E[E[X]E[Y]]

\=E[X]E[Y|X]-E[X]E[Y]-E[X]E[E[Y|X]]+E[X]E[Y]

\=0

Realmente no tengo idea de hacia dónde ir con este problema. Si E[X*E[Y]]=E[X]E[Y], no puedo entender por qué E[XE[Y|X]]$\neq$E[X]E[Y|X]. Creo que estoy cometiendo un error al pasar de la línea en negrita a la siguiente, pero no puedo entender por qué.

Answer 1

Si E[X*E[Y]]=E[X]E[Y], no puedo entender por qué E[XE[Y|X]]≠E[X]E[Y|X].

De hecho, para todas las variables aleatorias integrables $X$ e $Y$, $E[XE[Y]]=E[X]E[Y]$ dado que $E[Y]$ es simplemente una constante y se sabe que $E[\lambda X]=\lambda E[X]$ para cualquier constante $\lambda$.

Pero $Z=E[Y\mid X]$ es una variable aleatoria y, para alguna variable aleatoria general $Z$, $E[XZ]\ne E[X]Z$ simplemente porque el lado izquierdo es un número y el lado derecho es una variable aleatoria.

Lo que sucede aquí es que $Z$ es una variable aleatoria específica, a saber, la expectativa condicional de alguna variable aleatoria $Y$ con respecto a $X$. Y es un hecho (de hecho, casi parte de la definición) que $E[u(X)E[Y\mid X]]=E[u(X)Y]$ para cada función medible $u$ (técnicamente, tal que $u(X)Y$ sea integrable). Puede que quieras aplicar esto a tu problema (si intentas y aún no logras resolverlo, puedo agregar algunas pistas adicionales).