Una bonita propiedad de un triángulo con lados 1,2,2

Question

Hace aproximadamente un año, mientras usaba GeoGebra, descubrí una hermosa propiedad de un triángulo con lados 1, 2, 2.

Es que muchos de los centros importantes de este triángulo están ubicados a distancias iguales en fila, tanto que llamé a este triángulo el "triángulo de la línea de números".

Puedes considerar las siguientes dos imágenes:

$G$ es el punto de intersección de las alturas de $XYZ$

$C$ es el punto de intersección de los bisectores de $X^{'}Y^{'}Z^{'}$

$F$ es la intersección de los bisectores de $XYZ$

$B$ es el centro del círculo $XMPDQN$

$E$ es el punto de convergencia de los promedios de $XYZ$

$A$ es el punto de convergencia de las alturas de $X^{'}Y^{'}Z^{'}$

$D$ es el punto de convergencia de los ejes de $XYZ$

$XA=AB=BC=CD=DE=EF=FG$

Mi pregunta consta de dos partes:

¿Esta característica ya fue descubierta?

¿Cómo podemos probarlo de todos modos?

Answer 1

Esta es una demostración breve, puedo agregar detalles después

Vamos a considerar la notación estándar, entonces

Solo necesitamos demostrar que $GI=HI$ porque $OH=3OG$

Aplicando la propiedad de conjugación angular y el teorema del bisector interno, obtenemos esto

El resto de los centros son fáciles de mostrar de manera similar porque el otro triángulo es una ampliación del mismo triángulo