Área de $\triangle ABC$, dados $AB = 7$, $AC = 15$, y la mediana $AM = 10$

Question

He estado trabajando en este interesante problema por un tiempo ya, y aquí está:

En $\triangle ABC$, $AB = 7$, $AC = 15$ y la mediana $AM = 10$. Encuentra el área de $\triangle ABC$.

He descubierto que $BM$ y $CM$ son ambos $4\sqrt2$ usando el Teorema de Stewart. Ahora, intenté usar la Fórmula de Herón para calcular el área, lo cual fue un desastre.

Cualquier ayuda es apreciada. Gracias.

Answer 1

Usando el teorema de Stewart, puedes encontrar que $BM$ y $CM$ son ambos $\sqrt{37}$ y no $4\sqrt2$, lo que significa que nuestro tercer lado ($BC$) tiene una longitud de $2\sqrt{37}$ (= $\sqrt{148}$)

Luego, utilizando la forma menos desordenada de la fórmula de Herón dada por: $$16 \;|\triángulo ABC|^2 = 2a^2 b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4$$ ¡puedes calcular que el área es exactamente igual a $42$!

Answer 2

Se puede evitar la fórmula de Herón también calculando la medida de $∠AMB$. Sea $\theta=m∠AMB$, $x=BM$. Luego (como en la derivación del teorema de Stewart/Apolonio) tenemos $$ 49=100+x^2-20x \cos \theta\\ 225=100+x^2+20x\cos \theta $$ y así $20x \cos \theta=\frac{225-49}{2}=88$, y $x^2=\frac{49+225}{2}-100=37$.

Luego el área del triángulo se puede calcular como $$ 10x\sin \theta = 10\sqrt{x^2-x^2\cos^2 \theta} $$

Answer 3

Sea $|AB|=7=c$, $|AC|=15=b$, $|AM|=10=m_a$, $|BM|=|MC|=\tfrac{a}2=x$.

Luego, por el teorema de Stewart para el $\triangle ABC$ \begin{align} b^2x+c^2x&=2x(m_a^2+x^2) ,\\ x&=\sqrt{\tfrac12(b^2+c^2)-m_a^2} =\sqrt{\tfrac12(49+225)-100} =\sqrt{37} ,\\ a&=2x=2\sqrt{37} . \end{align}

Y el área

\begin{align} S&=\tfrac14\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2} \\ &=\tfrac14\sqrt{4\cdot4\cdot37 \cdot 225 -(4\cdot37+225-49)^2} . \end{align}

Entonces, la respuesta es$\dots$ todavía 42.

Answer 4

Extender $AM$ hasta $D$ de manera que $MA=MD$. Entonces los triángulos $AMB$ y $DMC$ son congruentes, por lo que los triángulos $ABC$ y $ACD$ tienen igual área. $\text{Área de }ABC=\text{Área de }ACD$, $AC=15$, $AD=20$, y $CD=7$.

¡Ahora utiliza la fórmula de Herón y habrás terminado!

Answer 5

¿Estás seguro? $p = \dfrac{7+15+8\sqrt{2}}{2} = 11+4\sqrt{2}\implies S^2 = p(p-15)(p-7)(p-8\sqrt{2}) = (11+4\sqrt{2})(11-4\sqrt{2})(-4+4\sqrt{2})(4+4\sqrt{2}) = (121-32)(32-16) = 89\cdot 16.$

Entonces $S = 4\sqrt{89}.$