Demostrando que el valor no definido es igual a algo

Question

Mi hermano menor (estudiante de 9º grado) recibió el siguiente problema de matemáticas-

Dado: $$2^a = 3^b = 6^c$$ Demostrar:

$$c=\frac{a * b}{a+b}$$

A partir de mi conocimiento elemental de matemáticas, parece que a=b=c=0. Además, (ab)/(a+b) no está definido y lo no definido puede ser igual a 0. Lo que me hace pensar si la pregunta tiene sentido. También podrían haber preguntado si (ab)/(a+b) = 182 es decir, algún número al azar.

Mi pregunta es si la salida de

No definido == Un número

es verdadera o falsa?

¿Realmente tiene sentido esta pregunta?

¡Desafortunadamente, el profesor es bastante arrogante y no quiere dar una respuesta a esta pregunta!

Answer 1

$$2^a=3^b=6^c=k\text{(say)}$$

Así, $2=k^{\frac1a},3=k^{\frac1b},6=k^{\frac1c}$

$$\implies k^{\frac1a} \cdot k^{\frac1b}=k^{\frac1c} $$

$$\implies k^{\frac1a+\frac1b} =k^{\frac1c} $$

Sabemos que $a^m=a^n\implies m=n$ si $a\ne0,\pm1$

Aquí si $k=1, a=b=c=0$ pero $\frac{ab}{a+b}=\frac00$ es decir, no está definido

Answer 2

Supongamos que $2^a=3^b=6^c$, donde $a\ne 0\ne b$. Tomando logaritmos base $2$:

$$a=b\lg 3=c\lg 6=c(1+\lg 3)\;.$$

Entonces

$$\frac{ab}{a+b}=\frac{b^2\lg 3}{b+b\lg 3}=\frac{b\lg 3}{1+\lg 3}=\frac{a}{a/c}=c\;.$$

Por supuesto, la única solución con $a,b$ y $c$ enteros es $a=b=c=0$, pero ciertamente hay soluciones no enteras.

Answer 3

Considera que "No Definido" es un elemento por derecho propio. Entonces, "No Definido == Un Número" es consistentemente falso, y "No Definido == No Definido" es consistentemente verdadero. Esta es la perspectiva que surge de interpretar "función parcial" como "función que preserva el punto base entre conjuntos punteados." Se llama igualdad de Kleene.

Nota que también existen relaciones de igualdad dirigida que pueden ser útiles al describir funciones parciales. Por ejemplo, sea $$\lim : \mathbb{R}^\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$$ la función parcial que devuelve el límite de una secuencia de valores reales. Entonces tenemos $\lim(a+b) \unlhd \lim(a)+\lim(b)$, donde $\sigma \unlhd \tau$ significa que si $\tau$ está bien definido, entonces también lo está $\sigma, y son iguales.