Deja que $\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ y $K \subseteq \mathbb{R}$ tal que $\mathbb{Q} \subset K \subset \mathbb{Q}[\alpha]$

Question

Deja $\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ y $K \subseteq \mathbb{R}$ tal que $\mathbb{Q} \subset K \subset \mathbb{Q}[\alpha]$.

Quiero encontrar el grado del polinomio mínimo de $\alpha$ en K.

Sé que el grado del polinomio mínimo de $\alpha$ en $\mathbb{Q}$ es cuatro, creo que eso significa que $[\mathbb{Q} : \mathbb{Q}[\alpha]]$ = 4. Para encontrar el grado del polinomio mínimo, creo que necesito usar lo siguiente: $$[\mathbb{Q} : K] \times [K : \mathbb{Q}[\alpha] ] = [\mathbb{Q} : \mathbb{Q}[\alpha]] = 4$$

Creo que necesito encontrar este término: $[K : \mathbb{Q}[\alpha] ]$, así que necesito echar un vistazo a $[\mathbb{Q} : K]$. Hay tres posibilidades: 1, 2 y 4. Sin embargo, estoy luchando para encontrar cuál excluir.

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Sea $m=[K:\mathbb{Q}]$ y $n=[\mathbb{Q}[\alpha]:K]$. Entonces $mn=4$.

Dado que las inclusiones en $\mathbb{Q} \subset K \subset \mathbb{Q}[\alpha]$ son estrictas, tenemos que $m>1$ y $n>1$.

Por lo tanto, $m=n=2$.