Cancelando mientras se integra

Question

Por favor ayuda en entender las siguientes integrales.

Se permite hacer algo como lo siguiente, pero no porque realmente estás cancelando dt/dt. ¿Verdad? ¿Alguien puede explicar cómo y por qué (y si) esto funciona?

$$\int u_n \frac{\mathrm{d}u_n}{dt} \mathrm{d}t = \int u_n \mathrm{d}u_n$$ $$\int u_n \frac{\mathrm{d}u_{n+1}}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}t = \int u_n \mathrm{d}u_{n+1}$$

Nota que $u_n$ (posición de la masa $n$) y $u_{n+1}$ es una función de $t$ (tiempo).

Creo que esta respuesta dice que necesito integrar $u_n \frac{\mathrm{d}u_n}{dt}$ con respecto a $t$, evaluar esa respuesta en los límites de la integral y usar el resultado como los límites de la integral $\int \mathrm{d}t$. ¿Verdad? Pero no tengo límites y $u_n \frac{\mathrm{d}u_n}{dt}$ no se integra fácilmente con respecto a $t$.

(OPCIONAL) Pregunto esto porque parece que estoy aplicando esta regla de manera incorrecta porque estoy obteniendo la respuesta incorrecta a un problema más grande (ver imagen abajo). En realidad estoy tratando de encontrar la energía potencial integrando la fuerza por la velocidad con respecto al tiempo, así (la respuesta correcta está arriba; puedes ignorar los problemas, como que creo que definí $\mathbf{v}$ al revés, no relevante para mi pregunta).

Answer 1

El problema ocurre al tratar con los dos términos en el medio;

puedes escribirlos como $-\int u_{n}\frac{du_{n+1}}{dt}dt-\int u_{n+1}\frac{du_{n}}{dt}dt=-\int\big(u_{n}\frac{du_{n+1}}{dt}+u_{n+1}\frac{du_{n}}{dt}\big)dt=-\int\frac{d}{dt}(u_nu_{n+1})dt$

$=-u_{n}u_{n+1}+C$ utilizando la regla del producto

Para la respuesta a tu pregunta original, sin embargo, la fórmula $\int u_{n}\frac{du_{n}}{dt}dt=\int u_{n}du_{n}$, que también podríamos escribir como $\int f(t)f^{\prime}(t)dt=\int udu$, es correcta, ya que es solo una aplicación de la sustitución de u.