Anteriormente hice una pregunta similar sobre la suma de dos variables aleatorias i.i.d., pensando que los dos casos eran equivalentes. Pero no veo cómo aplicar la demostración de ese caso a este.
Es bien sabido que si dos variables aleatorias i.i.d. están distribuidas normalmente, su diferencia también está distribuida normalmente. ¿Es también cierto lo contrario? Es decir:
Supongamos que $X$ e $Y$ son dos variables aleatorias i.i.d. tal que $X-Y$ es normal. ¿Es necesariamente el caso que $X$ e $Y$ también son normales?
Hasta ahora sé lo siguiente. Si las funciones de densidad de probabilidad de $X$ e $Y$ son ambas $f(x)$, entonces la función de densidad de probabilidad de $X-Y$ es $f(x)*f(-x)$, y su función característica es $\hat f(t)\hat f(-t)=\hat f(t)\overline{\hat f(t)}=|\hat f(t)|^2$. Así que si $\hat g=|\hat f|^2$ es una función gaussiana, entonces $\hat f$ es el producto puntual de una gaussiana $\sqrt{\hat g}$ y una función hermitiana $h:\mathbb R\to\{z:|z|=1\}$. Ciertamente podemos tomar $h(t)=e^{i\mu t}$, dando como resultado que $f$ sea una gaussiana con una media arbitraria $\mu$. ¡Pero muchas otras elecciones de $h$ son posibles! ¿Alguna de esas corresponde a distribuciones de probabilidad, que deben ser no negativas en todas partes?
