¿Existe un número entero que sirva como la pierna más corta de un triángulo pitagórico primitivo, la pierna más larga de otro, y la hipotenusa de un tercero?

Question

Un triplete pitagórico primitivo es de la forma $(a,b,c)$ donde $\gcd(a,b,c) = 1$. Si listamos estos tres números de manera que $a, ¿existe algún entero $x$ donde $x$ aparece en los tres "slots" una vez?

Ejemplo: $13$ aparece en el tercer slot $(5$-$12$-$13)$ y en el primero $(13$-$84$-$85)$ pero no en el segundo.

Nota: $x$ debe ser parte del triplete pitagórico primitivo, no podemos tener algo como $15$-$20$-$25$

Answer 1

Se puede verificar fácilmente que $(221, 24420, 24421)$, $(60,221,229)$ y $(21,220,221)$ son triplas pitagóricas: esta es una respuesta.

¿Cómo lo encontré?

Una tripla pitagórica primitiva tiene la forma $(m^2 - n^2, 2mn, m^2 + n^2)$, con $m$ y $n$ primos entre sí y no ambos impares. Pero no hay garantía de que las piernas salgan en el orden correcto.

Dado que $m$ y $n$ tienen paridades opuestas, $m^2 + n^2$ debe ser impar (y en realidad de la forma $4k+1$). Pero $2mn$ es par. Entonces cualquier número de este tipo será una suma de dos cuadrados y también una diferencia de dos cuadrados de dos maneras diferentes, una de las cuales tiene $m^2 - n^2 < 2mn$ y la otra tiene $m^2 - n^2 > 2mn$. Además, por consideraciones modulo 4, en ambas expresiones debemos tener $m$ impar y $n$ par.

Luego, queremos averiguar la cantidad de formas de escribir un número entero positivo como diferencia de cuadrados. Cada expresión de un número impar como diferencia de cuadrados corresponde a una factorización. Por ejemplo, consideremos

$$33 = 17^2 - 16^2 = (17- 16)(17 +16) = 1 \times 33$$

y

$$33 = 7^2 - 4^2 = (7-4)(7+4) = 3 \times 11$$

De hecho, la cantidad de formas de escribir un número impar positivo como diferencia de cuadrados es exactamente la mitad de su número de factores. (Esto no es una prueba completa de este hecho.)

Por lo tanto, el número que buscamos debe:

• ser de la forma 4k+1
• tener al menos cuatro factores (para que se pueda escribir como una diferencia de dos cuadrados de al menos dos formas)
• ser una suma de dos cuadrados. Los enteros que son sumas de dos cuadrados son exactamente aquellos donde ningún primo de la forma $4k+3$ aparece a una potencia impar (este es un resultado clásico en teoría de números).

La forma más fácil de obtener cuatro factores es un producto de dos primos distintos. Queremos evitar primos de la forma $4k+3$, así que tomamos $5 \times 13 = 65$. Luego tenemos $65 = 33^2 - 32^2$ dando la tripla $(65, 2112, 2113)$ y $65 = 9^2 - 4^2$ dando la tripla $(65, 72, 97)$. Así que esto no funciona porque $65$ cae en la "ranura" baja ambas veces.

De manera similar, $85 = 5 \times 17$ no funciona. Necesitas que los dos primos estén relativamente cerca uno del otro para obtener $m^2 - n^2 > 2mn$, lo cual necesitamos.

Entonces, observamos $13 \times 17 = 221$:

• $221 = 111^2 - 110^2$ da la tripla $(221, 24420, 24421)$
• $221 = 15^2 - 2^2$ da la tripla $(60, 221, 229)$
• $221 = 10^2 + 11^2$ da la tripla $(21, 220, 221)$.

Answer 2

¡Esto es posible! Por ejemplo, ocurre con $1885$:

$$1885^2 + 10428^2 = 10597^2$$

$$1692^2 + 1885^2 = 2533^2$$

$$427^2 + 1836^2 = 1885^2$$

Esto fue encontrado a través de una búsqueda en Python generada y ejecutada en ChatGPT (enlace).

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Editar: Una vez que se han encontrado tales soluciones, es posible buscar literatura relacionada de manera más efectiva. Por ejemplo, ver:

Fässler, Albert. "Multiple Pythagorean number triples." The American mathematical monthly 98.6 (1991): 505-517. Enlace.

En la pág. 509 la parte (d)(1) comienza con $1105$. Revisando WolframAlpha, podemos usar la consulta:

resolver sobre Z+: a^2 + 1105^2 = c^2 && gcd(a,1105,c) = 1

para ver que no hay soluciones para las cuales $1105$ sea el número más pequeño en un triplete pitagórico primitivo. El siguiente número listado en lo anteriormente vinculado es $1885$, que (como se indicó arriba) da una solución. Esto se puede verificar en WolframAlpha; el primer resultado para cada consulta (enlazado con la letra correspondiente) es precisamente la solución proporcionada arriba de esta Edición.

Para a:

resolver sobre Z+: m^2 + 1885^2 = n^2 && gcd(m,1885,n) = 1 && 1885

Para b:

resolver sobre Z+: m^2 + 1885^2 = n^2 && gcd(m,1885,n) = 1 && m<1885

Para c:

resolver sobre Z+: m^2 + n^2 = 1885^2 && gcd(m,1885,n) = 1 && m