Sean $a$ y $b$ elementos de orden finito de un grupo infinito $G$. ¿Podemos decir entonces que el orden de $ab$ es finito?
Creo que esto es cierto para Grupos Nilpotentes.
Respuestas
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FasterEd
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No, no podemos. Tomemos por ejemplo el grupo modular. Este grupo puede ser generado por los elementos $S^2 = 1$ y $(ST)^3 = 1$. Sin embargo $S(ST) = S^2 T = T$ es una traducción que genera (un grupo isomorfo a) $\mathbb Z$.
Johannes
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Otro es $GL(2,\mathbb Q)$. Tomamos $A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$. Intenta demostrar que $A^4=B^3=E$ pero $AB$ tiene orden infinito. Esto muestra que si el grupo $G$ no es abeliano entonces $tG$, incluyendo los elementos de torsión de $G$, puede no ser un subgrupo.
Hagen von Eitzen
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Como se ha señalado en las otras respuestas, un grupo infinito puede tener dos elementos de torsión que se multiplican para dar un elemento no de torsión. Sin embargo, este no es el caso si el grupo es nilpotente.
Lo siguiente es el Teorema 5.2.7. del excelente texto de Derek J. S. Robinson "Un Curso en la Teoría de Grupos". Claramente responde a tu pregunta.
Teorema: Sea $G$ un grupo nilpotente. Entonces los elementos de orden finito en $G$ forman un subgrupo totalmente-invariante $T$ tal que $G/T$ es libre de torsión y $T=Dr_pT_p$ donde $T_p$ es el único $p$-subgrupo máximo de $G$.
Dejaré la prueba de lado - busca en el libro de Robinson, o cualquier otro texto avanzado que tenga algo que decir sobre grupos nilpotentes.
Para ver que los ejemplos no son grupos nilpotentes debes saber que $D_{\infty}$ y cualquier grupo libre no cíclico no son nilpotentes, y que los subgrupos de grupos nilpotentes son nilpotentes. El grupo de Hagen von Eitzen claramente contiene $D_{\infty}$ mientras que los otros dos contienen grupos libres de rango arbitrario.
