En primer lugar, cuando dices que la secuencia sigue la regla que especificas solo mirando sus primeras entradas, estás haciendo una suposición ... una suposición razonable, por supuesto, pero una suposición no obstante.
De todos modos, digamos simplemente que la regla que indicas realmente especifica la secuencia en la que estamos interesados. ¿Es periódica?
Tu observación de que dado que el número de pares de números es finito, y por lo tanto en algún momento tiene que haber una repetición de un par de números, es correcta.
Sin embargo, no hay necesidad de preocuparse por los predecesores: una vez que tienes una repetición de $x,y$ en tu secuencia, entonces, dada la regla, a partir de ese momento todo será nuevamente igual, y eso es todo lo que necesitas para demostrar que es cíclica.
De hecho, hay muchas secuencias que son cíclicas, pero donde el ciclo es precedido por un pequeño 'inicio' que no se repite ... es decir, donde su gráfica parece un '6', no un '0'. Para tales secuencias, no podrías probar que los predecesores siempre son iguales, porque eso no sería cierto. Pero, aún así tienes ese ciclo, y eso lo hace periódico.
En resumen, la secuencia será periódica, aunque tal vez no regrese a $(1,1)$
Dicho esto, en realidad es fácil mostrar que la secuencia regresará a $(1,1)$, ya que todos los predecesores serán iguales: si tienes
$$b,x,y$$
y
$$f,x,y$$
entonces debe ser el caso de que
$$b+ x =y \mod 10$$
y
$$f+x=y \mod 10$$
y de eso se sigue inmediatamente que $b=x$ dado que $0 \le b,f \le 9$
Una vez que hayas establecido que $b=f$, de igual forma se deduce que $a=e$ ... pero realmente ya no necesitas demostrar eso: una vez que has mostrado que el antecesor inmediato de dos números está fijo, entonces todos los predecesores están fijos. En resumen, a partir de cualquier $a_n$ y $a_{n+1}$, tanto $a_{n+2}$ como $a_{n-1}$ están completamente determinados.
