Límite en la suma de logaritmos

Question

Consideremos un número natural $m$ y sea $m_i, i=1,2,...,\lfloor{\sqrt{m}}\rfloor$ números naturales tales que: $$\sum_{i=1}^{\lfloor{\sqrt{m}}\rfloor} m_i = m$$

Mi pregunta se refiere a la siguiente suma: $$\sum_{i=1}^{\lfloor{\sqrt{m}}\rfloor} \log(\frac{m_i}{i}) $$

¿Qué podemos decir sobre el tamaño máximo de esta suma en comparación con $m$? ¿Será del orden de $\sqrt{m}$?

Answer 1

Sea $k=\lfloor \sqrt{m}\rfloor$. La suma es $$\sum_{i=1}^k\log\left(\frac{m_i}{i}\right)=\log\left(\frac{m_1m_2\cdots m_k}{k!}\right) $$ Por AM-GM $$m_1m_2\cdots m_k\leq \left(\frac{m_1+m_2+\cdots+m_k}{k}\right)^k=\left(\frac{m}{k}\right)^k $$ Para $k!$, necesitamos un límite inferior. Entre varias opciones: $$k!\geq \left(\frac{k}{e}\right)^k$$ Por lo tanto, $$\frac{m_1m_2\cdots m_k}{k!}\leq\left(\frac{me}{k^2}\right)^k$$ $$\log\left(\frac{m_1m_2\cdots m_k}{k!}\right)\leq k\log\left(\frac{me}{k^2}\right)\leq\sqrt{m}\log\left(\frac{me}{k^2}\right)$$ Nota que $m/k^2 \to 1$ cuando $m\to\infty$, entonces $\log\left(me/k^2\right)\to \log(e)=1$ y $\log\left(me/k^2\right)<2$ para valores suficientemente grandes de $m$. Alternativamente, puedes intentar demostrar que $m/k^2\leq 4$ para todo $m$, entonces $\log\left(me/k^2\right)\leq \log(4e)=\log(4)+1$. El punto es demostrar que $\log\left(me/k^2\right)$ está limitado por una constante.

Answer 2

Por la desigualdad AM-GM, $$ \prod_i m_i \le \left(\frac{\sum_i m_i}{\lfloor \sqrt m \rfloor}\right)^{\lfloor \sqrt m \rfloor} = \left(\frac{m}{\lfloor \sqrt m \rfloor}\right)^{\lfloor \sqrt m \rfloor} \approx (\sqrt m)^{\sqrt m} $$ (En este momento estoy demasiado cansado para preocuparme por el suelo). Por lo tanto, $$ \sum_i \log\frac{m_i}{i} = \log\prod_i\frac{m_i}{i} \le \log \frac{(\sqrt m)^{\sqrt m}}{(\sqrt m)!} = \sqrt m \log (\sqrt m) - \log(\sqrt m)! $$ Al mirar un poco la página wiki de la aproximación de Stirling, encontramos $$ \log n! = n\log n + \Theta(n) $$ Si sustituimos eso en lo anterior obtenemos $$ \sum_i \log\frac{m_i}{i} \in O(\sqrt m) $$ También hay que tener en cuenta que la desigualdad AM-GM es una igualdad en caso de que todos los $m_i$ sean iguales. Eso significa que el orden mencionado anteriormente se puede lograr. Por lo tanto, en el peor de los casos $$ \sum_i \log\frac{m_i}{i} \in \Theta(\sqrt m) $$ es decir, no podemos mejorar el orden en el caso general. ¡Esto fue como lo sospechaste! Podemos hacer que la cota sea más precisa agregando más términos de la aproximación de Stirling.