¿Cuál es la diferencia entre una serie de Taylor, un polinomio de Taylor, una función analítica y una aproximación cuadrática?

Question

Estoy utilizando Wikipedia para repasar estos conceptos clave. Escribiré lo que creo que he leído y tal vez un experto pueda corregirme. Primero, todos son funciones.

Tengo la idea de que un polinomio de Taylor es lo mismo que una serie de Taylor, ¿excepto quizás que el polinomio es finito?

¿Así que tal vez una aproximación cuadrática es solo los dos primeros términos de una serie de Taylor?

Y finalmente todas las series de Taylor son analíticas, pero yendo en la otra dirección no estoy seguro, ya que todas las funciones analíticas están localmente definidas por una serie de potencias convergente.

¿Se consideraría que la función que tiene los números reales como dominio y el cuadrado como resultado es "continuamente diferenciable" y su serie de Taylor tendría todos sus términos como 0 excepto los dos primeros?

Answer 1

Para una función dada $f(x)$ y un punto dado $x=a$, el polinomio de Taylor de grado n es el polinomio $$ P(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + f''(a)(x-a)^2 /{2!}+...+ f^{(n)} (a) (x-a)^n /{n!}$$ Este polinomio tiene su valor y hasta la $n-ésima$ derivada coinciden con la función $f(x).$

La serie de Taylor es una serie infinita que puede tener o no términos infinitos no nulos y sus términos son similares a los términos del polinomio de Taylor.

La serie de Taylor puede o no converger a la función $f(x).$

Una función es analítica en un punto dado si y solo si es igual a su serie de Taylor en un vecindario del punto dado.

Una aproximación cuadrática son los primeros tres términos del polinomio de Taylor de la función en el punto dado.