Considerar dos espacios euclídeos perforados $X={\Bbb R}^4\setminus\{0\}$ donde uno está equipado con la siguiente métrica $(4,0)$ de Riemann (en coordenadas polares): $$ g= dr^2 + r^2 d\Theta^2 $$ mientras que el otro con la métrica pseudo-Riemanniana $(1,3)$ (donde la única diferencia es el signo): $$ g= dr^2 - r^2 d\Theta^2 $$ En un radio constante $r=r_o$ obtenemos dos 3-superficies incrustadas. La primera obviamente es la 3-esfera. Mi pregunta es si la segunda superficie es la misma o diferente. Por ejemplo, si estas dos 3-superficies se ven como 3-espacios con una curvatura intrínseca (sin considerar la incrustación), ¿habría alguna diferencia geométrica entre ellas? Agradecería cualquier pensamiento incluso remotamente relevante para esta pregunta.
Respuesta
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Ciertamente no hay diferencia topológica, pero no creo que eso sea lo que quisiste decir: cualquier cosa relacionada con una métrica es geométrica, no topológica.
Dado que la subvariedad que estás considerando es la porción $r=r_0$, la métrica inducida es muy fácil de calcular: simplemente eliminamos los términos $dr$ y establecemos $r=r_0$. Así, en el primer caso, obtenemos la métrica $r_0^2 d \Theta^2$, mientras que en el segundo obtenemos $-r_0^2 d \Theta^2.
Así que tenemos dos métricas inducidas diferentes en la tres-esfera: una tiene signatura $(3,0)$, mientras que la otra tiene $(0,3)$. Por supuesto, dado que están relacionadas por un cambio de signo, la geometría intrínseca será básicamente la misma, solo tienes que asegurarte de llevar un registro del signo. (Por ejemplo, creo que las curvaturas escalar y seccional también tendrán signo opuesto.)
