Sea $R$ un anillo con $1$ y $M_R$ cualquier módulo derecho $R$. Supongamos que $M$ tiene la condición de cadena descendente en submódulos esenciales. Sea $\mathrm{soc}(M)= \bigcap_{i\in I}A_i$ la intersección de todos los submódulos esenciales de $M$. ¿Cómo puedo demostrar que $\mathrm{soc}(M)$ es una intersección finita de submódulos esenciales?!.
Este es mi intento: si $I$ es numerable, digamos $I=\lbrace i_1,i_2,\ldots \rbrace$, entonces tenemos la cadena \begin{align} A_{i_1} \supseteq A_{i_1} \cap A_{i_2} \supseteq A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap A_{i_3} \supseteq \ldots \end{align} y así, por la hipótesis, existe un $m\in \mathbb{N}$ tal que $A_{i_1} \cap \ldots \cap A_{i_m} = \bigcap_{k=1}^{\infty}A_{i_k}$.
Pero si $I$ no es numerable, ¿qué puedo hacer ?!.
La pregunta de otra forma puede ser la siguiente: ¿Cómo demostrar que $\mathrm{soc}(M)$ es esencial en $M$ ?!. De hecho, eso es lo que se requiere. Intento demostrar que la intersección de todos los submódulos esenciales es finita para probar esta afirmación.
Gracias de antemano.
