Relacionando la definición tradicional de un campo vectorial en términos de función con la definición de geometría diferencial que implica fibras y haces

Question

Mi primera exposición al concepto de campos vectoriales fue en los cursos de física de la secundaria, que tenían una idea intuitiva simple de ser una función que asocia un punto en una región dada en el espacio (dominio donde la función está definida) con una flecha que apunta en alguna dirección. Por ejemplo, puedo dar el famoso campo eléctrico de una carga puntual centrada en el origen como campo vectorial:

$$\vec{E}(r) = \hat{r} \frac{kq}{r^2}$$ Está bien.

Recientemente, me encontré con una definición matemáticamente más sofisticada al pasar por algunas conferencias sobre el lado matemático de la relatividad general. Se da la siguiente definición:

Un campo vectorial suave $\chi$ es un mapeo suave que es una sección del mapeo $TM \xrightarrow{\pi} M$ donde $M$ es una variedad topológica y $TM$ es el haz tangente de esa variedad. Satisfaciendo la ley que: $\pi \circ \chi = id_M$ Fuente 44:45, Por el prof. Frederic D Schuller

Después de algunos segundos, el profesor explica la definición anterior usando la siguiente imagen:

Él dibuja en el círculo lo que tradicionalmente conozco como un campo vectorial, y luego de acuerdo con la longitud de la flecha del vector tangente, asocia puntos en el haz tangente. Por ejemplo, el punto más bajo en el círculo tiene un vector de longitud cero adjunto a él, por lo que, en el haz tangente, elige el punto con una altura cero sobre ese punto.

Nota: El profesor dijo que no importa cómo representemos el haz tangente es decir: orientar las líneas tangentes porque el haz tangente en sí mismo solo tiene una estructura de un conjunto y nada más (Quizás estoy interpretando mal este punto que él mencionó aquí, por favor corríjame si estoy equivocado)

Esto me lleva a las siguientes preguntas:

1. ¿Cómo coincide exactamente este formalismo de campo vectorial 'suave' con la idea de campos vectoriales como función?
2. ¿Cuál es exactamente la significación de este formalismo?

Answer 1

Es más simple de lo que parece: dada una función sobreyectiva $\pi\colon E \to B$ entre conjuntos, decimos que una sección de $\pi$ es un mapa $\psi\colon B \to E$ (en la dirección opuesta) tal que $\pi \circ \psi = {\rm Id}_B$. Más precisamente, si permitimos que $E_b = \pi^{-1}(b)$ sea la fibra sobre $b \in B$, la condición $\pi \circ \psi = {\rm Id}_B$ se lee $\psi(b) \in E_b$ para todo $b \in B$.

Ahora, un campo vectorial $X$ en una variedad $M$ satisface $X_p \in T_pM$ para todo $p \in M$. ¿Eso te suena familiar? Podemos ver $X$ como un mapa $X\colon M \to TM$, y la condición anterior dice que $X$ es una sección de $\pi\colon TM \to M$ (que lleva un vector tangente a su punto base). Preguntar acerca de la suavidad de $X$ (de nuevo, como una función $M \to TM$) solo tiene sentido una vez que has introducido una estructura de variedad suave en $TM$ también.

Eso es todo. La imagen puede verse un poco engañosa porque el profesor está usando un difeomorfismo $T\Bbb S^1 \cong \Bbb S^1 \times \Bbb R$ para dar una imagen geométrica de lo que un campo vectorial en el círculo es. Es decir, la recta tangente a un círculo en un punto dado está completamente determinada por el punto en sí, por lo que el factor $\Bbb R$ en $\Bbb S^1 \times\Bbb R$ solo controla la longitud del vector tangente, y longitudes "negativas" simplemente significan que el vector apuntará en la dirección opuesta a la especificada por el difeomorfismo $T\Bbb S^1 \cong \Bbb S^1\times\Bbb R$.

La palabra clave que estás buscando es "fibrado" (y "fibrado vectorial" y "fibrado principal" terminan siendo casos particulares). Geometría Diferencial Moderna para Físicos (o algo así) de Chris Isham ofrece una introducción muy buena.