Isomorfismo natural $\mbox{Hom}(\oplus_\alpha A_\alpha,G) \simeq \prod_\alpha \mbox{Hom}(A_\alpha,G)$

Question

En su libro de topología algebraica, Hatcher comenta que hay un isomorfismo natural $\mbox{Hom}(\oplus_\alpha A_\alpha,G) \simeq \prod_\alpha \mbox{Hom}(A_\alpha,G)$

No es inmediatamente claro por qué esto es cierto. Puedo tomar un morfismo $f:\oplus_\alpha A_\alpha \to G$, pero no puedo ver cómo construir un isomorfismo ($G$ es un grupo abeliano)

Answer 1

La suma directa de grupos abelianos $\bigoplus_\alpha A_\alpha$ cumple una propiedad universal: para cualquier elección de homomorfismos $f_\alpha:A_\alpha\rightarrow G$ para cada $\alpha$, existe un homomorfismo único $f:\bigoplus_\alpha A_\alpha\rightarrow G$ tal que $f_\alpha=f\circ i_\alpha$, donde $i_\alpha:A_\alpha\rightarrow\bigoplus_\alpha A_\alpha$ es el mapa de inclusión canónico. En otras palabras, la suma directa de grupos abelianos proporciona el coproducto en la categoría de grupos abelianos (esto es un enunciado que debe ser demostrado).

Dado cualquier $f:\bigoplus_\alpha A_\alpha\rightarrow G$, puedo obtener una colección de $f_\alpha:A_\alpha\rightarrow G$ simplemente estableciendo $f_\alpha=f\circ i_\alpha$. De manera recíproca, dado cualquier elección de $f_\alpha:A_\alpha\rightarrow G$ para cada $\alpha$, puedo crear un $f:\bigoplus_\alpha A_\alpha\rightarrow G$ que coincide con todos los $f_\alpha$ en cada factor, estableciendo $f((x_\alpha)_\alpha)=\prod_\alpha f_\alpha(x_\alpha)$ - el orden en que se toma este producto en $G$ no importa ya que $G$ es abeliano, y esto está bien definido porque la suma directa consiste precisamente en aquellas tuplas de elementos de cada $A_\alpha$ donde solo un número finito son la identidad (esto es necesario para la bien definición ya que el producto de infinitos elementos no identidad de un grupo no está bien definido).

Así, el isomorfismo natural $$\text{Hom}\left(\bigoplus_\alpha A_\alpha,G\right)\xrightarrow{\,\,\,\,\,\phi\,\,\,\,\,}\prod_\alpha\text{Hom}(A_\alpha,G)$$ está definido por $\phi(f)=(f\circ i_\alpha)_\alpha$, donde los $i_\alpha$ son las inclusiones naturales.

Este argumento es en realidad completamente general. Así es cómo se vería el enunciado en una categoría arbitraria.