¿Qué hace que el valor principal de Cauchy sea el valor "correcto" para una integral?

Question

No he podido encontrar una buena respuesta a esto buscando en línea. Hay una pregunta antigua relacionada aquí, pero nunca recibió mucha atención.

Supongamos que tengo alguna propiedad física que creo que depende de $\int_{-\infty}^{\infty}xdx$. Normalmente, diríamos que la integral es indefinida, pero también podríamos hipotéticamente tomar el valor principal de Cauchy y decir que la integral se evalúa en cero.

¿Bajo qué condiciones debo dejar que la integral permanezca indefinida y cuándo debería ser igual a cero? Me parece extraño que, según las circunstancias diferentes del problema, podríamos decir que la misma integral tiene valores diferentes. Para matemáticas puras, siempre y cuando trabajes dentro de un marco consistente, no importa realmente cuál decidas que es cierto. Pero para física, química, etc., si la integral se relaciona con alguna propiedad, parecería que habría alguna solución definitiva y empírica al problema.

Esta pregunta surge de algunos problemas que he estado haciendo con la distribución de Cauchy. Parece que para ciertos ejemplos físicos, hay un cierto grupo que trata al parámetro de ubicación como la media de la distribución, lo cual está diciendo efectivamente que la integral para determinar la media es igual a su valor principal. No me gusta esto porque me parece que sugiere que todos los momentos impares de orden superior también podrían argumentarse que existen, al menos en casos donde la distribución es simétrica alrededor de cero.

Answer 1

El valor principal de Cauchy es muy importante, especialmente en casos donde la integral de Lebesgue (a la que parece que te refieres como la integral impropia) no existe. El problema es que la integral de Lebesgue no trata muy bien con las oscilaciones muy grandes. De hecho, una función medible $f$ es integrable en el sentido de Lebesgue si y solo si $|f|$ lo es, por lo que las oscilaciones no importan, solo importa la magnitud. Esto se vuelve problemático al tratar con funciones como $\frac{\sin x}{x}$ en $(0,\infty)$ o $\frac{1}{x}$ en $(-1,1)\setminus\{0\}$.

Un propósito del valor principal de Cauchy es rectificar este problema, tener en cuenta las oscilaciones como lo hace la integral de Riemann y dar un número significativo que represente la integral (es decir, el promedio escalado) de la función en cuestión. El valor principal de Cauchy de $\frac{1}{x}$ es $\lim\limits_{\epsilon \to 0^+} \int_{-1}^{-\epsilon} \frac{1}{x}dx+\int_{\epsilon}^1 \frac{1}{x}dx = 0$, que coincide con nuestra intuición de cuál debería ser el valor promedio de $\frac{1}{x}$.

El uso más prominente del valor principal de Cauchy es la transformación de Hilbert, en la que estudiamos $\int \frac{f(x-y)}{y}dy$, que por supuesto, necesita ser definida correctamente. Es crítico aquí que no solo digamos que la integral impropia existe, sino que obtengamos un sentido cuantitativo de la oscilación presente.

Answer 2

Un ejemplo relacionado con la física puede ser útil. Considere un potencial de la forma $V=-Log(\left|x\right|)$. Entonces la fuerza se da por $$ F=-{d V \over d x}={1\over x}. $$ El trabajo realizado sobre una partícula que se mueve de $-a$ a $a$ (donde $a>0$) es $$ W=\int_{-a}^a{1\over x} dx. $$ Por conservación de la energía, esperaríamos que $W=0$ ya que $V(a)=V(-a)$ y así, en ese caso, el valor principal de Cauchy da la respuesta correcta. Sin embargo, en general, esperaríamos que no es físicamente posible tener un potencial infinito y así alguna nueva física entraría en juego cerca de $x=0$ que cambiaría la forma del potencial en esa región. Pero, siempre y cuando la energía se conserve todavía obtendríamos $W=0$ al mover la partícula de $-a$ a $a$ y así el valor principal de Cauchy seguiría habiendo dado la respuesta correcta incluso sin tener en cuenta directamente la nueva física.

Otro ejemplo interesante es cuando $V=-\frac{1}{x}$ que se muestra a continuación:

Si imaginas una pelota rodando desde $x<0$ necesitaría energía cinética infinita para llegar a $x>0$. Sin embargo, esperamos que alguna nueva física intervenga y mantenga $V$ finito y continuo alrededor de $V=0$. En ese caso, la diferencia en energía potencial entre $x=-1$ y $x=1$ sería simplemente $V(-1)-V(1)=2$. Así que querríamos $$ W=-\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx=2 $$ Como se explica en esta respuesta, para este caso el valor principal de Cauchy para la integral da $-\infty$ mientras que la integración de contorno da $2$. Así que en este caso, la integración de contorno es mejor que el valor principal de Cauchy desde una perspectiva física.

Answer 3

Me gusta la respuesta de Abhimanyu Pallavi Sudhir: podemos asignar el valor $\int_{-1}^1\tfrac1x\,dx$ a $\infty$, $-\infty$ u cualquier otro número, y estaríamos igualmente en lo correcto. No hay un criterio para seleccionar un resultado sobre otro. A veces esto se presenta como una falla de la integral de Lebesgue, lo cual creo que es absurdo; esta integral simplemente no tiene un significado inequívoco y no es culpa de Lebesgue o de Riemann.

Si, sin embargo, consideramos el operador integral $$ T(f):=\int_{-1}^1 \frac{f(x)}{x}\, dx, $$ donde $f$ es una función suave arbitraria, entonces las cosas son diferentes. Desarrollemos $f$ en una serie de Taylor; obtenemos, formalmente, $$ \int_{-1}^1 \frac{f(x)}{x}\, dx = f(0)\int_{-1}^1\frac{dx}{x} + f'(0)\int_{-1}^1\, dx + \ldots$$ El único término ambiguo es el de orden cero; todos los demás tienen perfectamente sentido como integrales estándar.

Conclusión. Necesitamos un procedimiento de renormalización que elimine el término de orden cero. Este procedimiento consiste en explotar la simetría, prescribiendo que $\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\, dx$ debe interpretarse como $$ \lim_{\epsilon \to 0}\int_{\epsilon<\lvert x \rvert <1} \frac{dx}{x}=0,$$, es decir, considerando integrales en el sentido del valor principal.

Este es el punto de partida de la teoría de integrales singulares de Calderón-Zygmund. En general, dado $$ K(x)=\frac{\Omega(\tfrac{x}{|x|})}{|x|^n}, $$ donde $\Omega$ es una función en la esfera unitaria $\mathbb S^{n-1}$ con integral cero, es decir, $$ \int_{\mathbb S^{n-1}}\Omega\, dS =0, $$ podemos definir un operador integral $$ Sf(x):=\int_{\mathbb R^n} K(x-y)f(y)\, dy, $$ donde la integral se interpreta en el sentido del valor principal, exactamente como antes. Se deben establecer algunas condiciones sobre $K$ para asegurar que este operador sea continuo en espacios de funciones apropiados. Pero lo más importante es que esta definición basada en el valor principal no es una locura, ni arbitraria, como podría parecer a primera vista. Es la única elección posible que elimina el término singular de la integral, dejando intactos todos los demás términos.

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Una observación final. Creo que "valor principal" es un galicismo, que oscurece el verdadero significado. "Renormalización" sería mejor, como sugiere Gerry Folland en su libro "Análisis Real".

Answer 4

No es el "valor correcto" para la integral al igual que la raíz principal no es el valor correcto para una raíz o el logaritmo principal no es el valor correcto para un logaritmo, o si se establece $C=0$ no te da el valor correcto de la antiderivada. Hay muchas otros valores que la integral puede tomar, dependiendo de cómo se tome el límite. Consulta mi respuesta a ¿Por qué no se puede evaluar $\int_{-1}^1\frac{dx}x$?